Der folgende Absatz erscheint auf Seite 6 von Morrisons TASI Lectures on Compactification and Duality :
Die Worldsheet-Aktion für Saiten auf einem Torus hängt von einer Wahl einer flachen Metrik auf dem Torus und einer Wahl eines NS-NS-Zwei-Formen-Feldes (das "B-Feld") ab. Wir können das Volumen als separaten Parameter heraustrennen und uns daran erinnern, dass der Raum von Volumen-eins-Flat-Metriken auf einem Torus beschrieben werden kann als . Der gesamte Parameterraum ist somit
mit diskreten Identifikationen aus zwei Quellen: Diffeomorphismen von (die beitragen ) und Integralverschiebungen des B-Feldes (die beitragen ). Die gesamte diskrete Gruppe, die sich aus dieser geometrischen Analyse ergibt, ist ).
Wenn Sie zwei Faktoren haben, die zu einer diskreten (oder kontinuierlichen) Symmetrie beitragen, ist die kombinierte Aktion im Allgemeinen ein direktes Produkt der Faktoren, wenn ihre Aktionen pendeln, und ein semidirektes Produkt, wenn ihre Aktionen nicht pendeln.
Der Raum aller 2 Formen in d-Dimensionen ist . Ich verstehe, warum wir die beiden Faktoren haben aber warum brauchen wir ein semidirektes Produkt? Meinem Verständnis nach ist es genau wie bei der Poincare-Gruppe, die ein halbdirektes Produkt von Übersetzungen ist (hier ersetzt durch ) und die Lorentzgruppe (hier ersetzt durch Diffeomorphismen).
Ist das die richtige Denkweise?
Sie haben ein halbdirektes Produkt, wenn ein Teil des Produkts nicht trivial auf den anderen einwirkt.
Gegeben zwei Gruppen Und , Sie wissen vielleicht, dass Sie eine Transformation durchführen wirkt auch auf die Elemente von in gewisser Weise durch einen Homomorphismus definiert , und die Gruppenoperation auf dem halbdirekten Produkt ist dann gegeben durch (die Reihenfolge der Elemente und ob die auf das erste oder zweite Element wirkt, hängt von der genauen Definition ab, die Sie verwenden).
In Ihrem Fall können die Diffeomorphismen nun natürlich durch Pullback auf die Differentialformen wirken, aber der Pullback einer verschobenen Differentialform ist nicht unbedingt die Verschiebung des Pullbacks um dieselbe , also tatsächlich wirkt auf in gewisser Weise. Dies ist nicht genau analog zum halbdirekten Produkt in der Poincaré-Gruppe, weil die wirken nicht auf den Torus selbst, wie es "Übersetzungen" tun würden, sondern verschieben direkt die 2-Form .