Strenge Untermauerung von Infinitesimalen in der Physik

Als ich meinen Bachelor-Professor für analytische Mechanik fragte: "Was bedeutet es, dass eine Rotation infinitesimal ist?" Nachdem er dieses Thema im Unterricht mit der Hand gewellt präsentiert hatte, antwortete er: "Das bedeutet, dass es wirklich klein ist." An diesem Punkt bin ich einfach weggegangen. Später an diesem Tag schickte ich meinem TA eine E-Mail, der mich auf ein Buch über Lügentheorie aufmerksam machte.

Glücklicherweise habe ich nicht vor, eine Antwort wie die meines Professors zu schreiben.

Wenn Sie in der Physik den Begriff "infinitesimal BLANK" sehen, können Sie im Allgemeinen relativ sicher sein, dass dies nur ein Platzhalter für "erste Ordnung (auch bekannt als lineare) Annäherung an BLANK" ist.

Schauen wir uns eines der wichtigsten Beispiele an.

Unendlich kleine Transformationen.

Betrachten wir den Sonderfall der „Infinitesimal-Transformationen“, um dies genauer zu betrachten. Wenn meine obige allgemeine terminologische Vorschrift korrekt sein soll, müssen wir zeigen, dass wir das Konzept einer „Annäherung erster Ordnung an eine Transformation“ rigoros machen können, und das können wir tatsächlich.

Beschränken wir uns der Konkretheit halber auf Transformationen auf normierten Vektorräumen. Lassen Sie ein offenes Intervall$I=(a,b)$enthält$0$gegeben sein, und nehme an, dass$T_\epsilon$ist eine Transformation auf einem normierten Vektorraum$X$so dass$T_0(x)$ist die Identität. Lassen$T_\epsilon$reibungslos abhängen$\epsilon$, dann definieren wir die infinitesimale Version$\widehat T$von$T_\epsilon$folgendermaßen. Für jeden Punkt$x\in X$, wir haben

$$\widehat T_\epsilon(x) = x + \epsilon\frac{\partial}{\partial\epsilon}T_{\epsilon}(x)\bigg|_{\epsilon=0}$$ Die Intuition hier ist, dass wir uns vorstellen können, zu expandieren $T_\epsilon(x)$als Potenzreihe in $\epsilon$; $$T_\epsilon(x) = x + \epsilon T_1(x) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ in diesem Fall der obige Ausdruck für die infinitesimale Version von $T_\epsilon$gibt $$\widehat {T}_\epsilon(x) = x+\epsilon T_1(x)$$ also die Verwandlung $\widehat T$codiert das Verhalten der Transformation $T_\epsilon$erstmal reinbestellen $\epsilon$. Physiker nennen die Transformation oft $T_1$der infinitesimale Generator von $T_\epsilon$.

Beispiel. Unendlich kleine Drehungen in 2D

Betrachten Sie die folgende Drehung der 2D-Euklidischen Ebene:

$$T_\epsilon = \begin{pmatrix} \cos\epsilon& -\sin\epsilon\\ \sin\epsilon& \cos\epsilon\\ \end{pmatrix}$$ Diese Transformation hat alle oben beschriebenen gewünschten Eigenschaften, und ihre infinitesimale Version ist $$\widehat T_\epsilon = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0& -\epsilon\\ \epsilon& 0\\ \end{pmatrix}$$ Wenn wir mit dieser infinitesimalen Transformation auf einen Punkt in 2D einwirken, erhalten wir eine gute Annäherung an das, was die volle Drehung für kleine Werte von bewirkt $\epsilon$weil wir eine lineare Annäherung gemacht haben. Beachten Sie jedoch unabhängig von dieser Aussage, dass die infinitesimale Version der Transformation streng definiert ist.

Beziehung zu Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Betrachten Sie eine Lie-Gruppe$G$. Dies ist im Wesentlichen eine Gruppe$G$Dies kann auch als glatte Mannigfaltigkeit betrachtet werden, so dass die Gruppenmultiplikation und die inversen Abbildungen ebenfalls glatt sind. Jedes Element dieser Gruppe kann als Transformation betrachtet werden, und wir können eine glatte Einparameterfamilie von Gruppenelementen betrachten$g_\epsilon$mit der Eigenschaft, dass$g_0 = \mathrm{id}$, die Identität in der Gruppe. Dann können wir wie oben eine infinitesimale Version dieser Transformationsfamilie mit einem Parameter definieren;

$$\widehat g_\epsilon = \mathrm{id} + \epsilon v$$ Der Koeffizient $v$von $\epsilon$in dieser Näherung erster Ordnung ist im Grunde (das gilt genau für Matrix-Lie-Gruppen) ein Element der Lie-Algebra dieser Lie-Gruppe. Mit anderen Worten, Lie-Algebra-Elemente sind infinitesimale Generatoren von glatten Ein-Parameter-Familien von Lie-Gruppenelementen, die bei der Identität der Gruppe beginnen. Für das obige Rotationsbeispiel die Matrix $$\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0\\ \end{pmatrix}$$ ist also ein Element der Lie-Algebra $\mathfrak{so}(2)$der Lie-Gruppe $\mathrm{SO}(2)$von Drehungen der Euklidischen Ebene. Wie sich herausstellt, sind mit Lie-Gruppen verbundene Transformationen in der Physik allgegenwärtig (insbesondere in der Elementarteilchenphysik und der Feldtheorie), sodass das Studium dieser Objekte sehr aussagekräftig wird.

Invarianz eines Lagrangians.

Angenommen, wir haben eine Lagrange-Funktion$L(q,\dot q)$definiert auf dem Raum (Tangentenbündel des Konfigurationsmannfeldes eines klassischen Systems) von verallgemeinerten Positionen$q$und Geschwindigkeiten$\dot q$. Nehmen wir weiter an, dass wir eine Transformation haben$T_\epsilon$auf diesem Raum definiert, dann sagen wir, dass die Lagrange- Funktion unter dieser bereitgestellten Transformation unveränderlich ist

$$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q)$$ Der Lagrange-Operator soll unter unendlich invariant sein $T_\epsilon$bereitgestellt $$L(T_\epsilon(q,\dot q)) = L(q, \dot q) + \mathcal O(\epsilon^2)$$ Mit anderen Worten, es ist invariant zur ersten Ordnung $\epsilon$. Wie Sie leicht sehen können, ist die infinitesimale Invarianz schwächer als die Invarianz.

Interessanterweise ist nur eine infinitesimale Invarianz des Lagrangians erforderlich, damit bestimmte Ergebnisse (insbesondere der Satz von Noether) gelten . Dies ist einer der Gründe, warum infinitesimale Transformationen und damit Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik nützlich sind.

Anwendung: Satz von Noether.

Lassen Sie einen Lagrange$L:\mathscr C\times\mathbb R$gegeben werden wo$\mathscr C$ist ein ausreichend gut erzogener Raum von Pfaden im Konfigurationsraum$Q$. Gegeben sei eine Transformationsfamilie mit einem Parameter$T_\epsilon:\mathscr C\to\mathscr C$beginnend mit der Identität. Die Änderung erster Ordnung im Lagrange-Operator unter dieser Transformation ist

$$\delta L(q,t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}L(T_\epsilon(q),t)\Big |_{\epsilon=0}$$ Eine (nicht die stärkste) Version von Noethers Theorem besagt, dass wenn $L$ist lokal in $c$und ihre ersten Ableitungen, nämlich ob es eine Funktion gibt $\ell$so dass (in lokalen Koordinaten auf $Q$) $L(q,t) = \ell(q(t), \dot q(t), t)$und wenn $$\delta L(q,t) = 0$$ für alle $c\in\mathscr C$die die Bewegungsgleichung erfüllen, nämlich wenn die Lagrange-Funktion infinitesimale Invarianz aufweist, dann die Größe $$G = \frac{\partial \ell}{\partial \dot q^i}\delta q^i, \qquad \delta q^i(t) = \frac{\partial}{\partial\epsilon}T_\epsilon(q)^i(t)\bigg|_{\epsilon=0}$$ bleibt entlang der Lösungen der Bewegungsgleichungen erhalten. Der Beweis besteht aus ein paar Zeilen; einfach differenzieren $G$an einer Lösung in Bezug auf die Zeit ausgewertet und verwenden Sie die Kettenregel und die Euler-Lagrange-Gleichungen, um zu zeigen, dass sie Null ist.

-Wie ist eine unendlich kleine Menge?$\delta$zum Physiker?

Für die meisten Physiker bedeutet es dasselbe wie für Newton, Leibniz und Euler. Es bedeutet etwas, das klein genug ist, dass wir eine bestimmte informell definierte Sammlung von Techniken darauf anwenden und korrekte Antworten erhalten können.

Für Physiker, die nach 1960 mehr über Mathematik wissen, bedeutet es dasselbe, außer dass sie sich bewusst sind, dass die Gesamtheit der Techniken schließlich formal definiert wurde und sich als konsistent erwiesen hat. Es gibt tatsächlich mehrere Möglichkeiten, dies zu tun, und für die Zwecke eines Physikers spielt es keine Rolle, welche Formalisierung verwendet wird. Einige Beispiele für Formalisierungen sind die Nicht-Standard-Analyse und die glatte Infinitesimalanalyse.

Wichtig ist hier zu verstehen, dass die von Leuten wie Euler erzielten Ergebnisse richtig waren . An den informellen Versionen der Techniken ist nichts auszusetzen.

-Warum argumentieren Physiker mit der Verwendung von Infinitesimalzahlen anstelle der "Standard"-Kalküle?

Unendlich kleine Zahlen waren Jahrhunderte lang die Standardrechnung. Der Grund, warum das Thema ursprünglich in Bezug auf Infinitesimale entwickelt wurde, ist, dass dies die natürlichste und bequemste Art ist, über das Thema zu argumentieren. Oft stellt man fest, dass, wenn ein bestimmtes Argument entweder unter Verwendung von Infinitesimal- oder Epsilon-Delta-Methoden ausgedrückt werden kann, die Tiefe der Quantoren im ersteren Fall um eins geringer ist.

-Was ist die physikalische Bedeutung der infinitesimalen Transformation? Wie hängt es mit Lie-Algebren zusammen?

In dem physikalischen Beispiel, das Sie gegeben haben, bedeutet es, was es sagt: eine unendlich kleine Drehung. Die Lie-Rotationsgruppe ist eine kontinuierliche Gruppe, die mit der Identität verbunden ist. Sie können Infinitesimale als Generatoren verwenden.

-Gibt es einen rigorosen theoretischen Apparat, um die oben gezeigten Berechnungen zu rechtfertigen?

Ja, tatsächlich gibt es mehr als einen, wie oben erklärt.

Es ist erwähnenswert, dass die rigorose mathematische Entwicklung der Analyse aufgrund von Weierstraß et al. beruft sich nicht auf das Konzept eines Infinitesimal oder lässt ein solches Konzept überhaupt zu. Stattdessen formalisiert es die Vorstellung, dass etwas "wirklich klein" in der ist$\epsilon$-$\delta$Definition einer Grenze.

Was die Physik betrifft$\epsilon$bezieht sich im Allgemeinen auf experimentelle Genauigkeit oder Fehlerspanne. Das bedeutet es$\delta$ist eine Zahl, die klein genug ist, dass eine Verkleinerung keinen praktischen Unterschied zu Vorhersagen macht.