Was war der eigentliche Bedarf an Divergenz- und Curl-Operatoren?

Diese Operationen entstanden aus dem Studium von Quaternionen, siehe zB Thomson und Taits Treatise on Natural Philosophy , die wahrscheinlich Informationen über die Art der Mathematik enthalten sollten. Der Satz von Stokes stammt von Thomson (Lord Kelvin) um 1850 und darin taucht der Ausdruck für curl auf. Die Geschichte der Quaternionen ist sicherlich interessant, beginnend mit Hamilton im Jahr 1843. Offensichtlich wurde die Bedeutung einer Summe und Differenz partieller Ableitungen für ihre Nützlichkeit erkannt.

PLAUSIBLE INTUITION

Es gibt sehr gute Gründe, diese Operatoren ausschließlich aus analytischer Sicht zu verwenden. Die Frage, wie eine Ableitung im multivariaten Kalkül zu definieren ist, motiviert uns, zunächst einen zweidimensionalen Vektorfeldfall zu betrachten. In einem solchen Fall kann die Richtungsänderung durch Ableitung von beschrieben werden$x-y$Komponenten des Feldes in Bezug auf verschiedene Richtungen.

Lassen$\mathbf{A}$sei das Vektorfeld mit zwei Komponenten,$A_x$Und$A_y$, jede Funktion der Position$(x,y)$. Dann kann die Gesamtänderung zunächst durch die Änderung in berücksichtigt werden$A_x$mit$x$und die Änderung in$A_y$mit$y$, Ableitungen in Richtung der Komponenten und zweitens durch die Änderung in$A_x$mit$y$Und$A_y$mit$x$. Es ist relativ einfach zu zeigen, dass wir die ersten beiden summieren sollten, um ihre nützlichen Eigenschaften beizubehalten,$\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}$, und wir sollten die Differenz der Kreuzableitungen für ihre nützlichen Eigenschaften nehmen,$\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$. Diese werden zu unseren beiden nützlichsten Ableitungen, nämlich der Divergenz bzw. der Kräuselung.

Wenn wir dies auf drei Dimensionen erweitern, können wir die Divergenzableitung leicht anpassen, indem wir einfach einen weiteren partiellen Ableitungsterm hinzufügen. Die Kreuzableitungen erfordern jedoch eine sorgfältige Handhabung, da es jetzt zwei Kreuzableitungen für jede Komponente gibt, also insgesamt 9 partielle Ableitungen. Um die Curl-Ableitung zu erweitern, betrachten wir die 2D-Curl-Ableitungen in einer gegebenen Ebene für die drei Hauptebenen ($xy$,$xz$, Und$yz$), und wir erlauben jeder Locke in einer Ebene, eine Komponente in einem Vektor zu sein. Somit gehen uns keine Informationen verloren. Die Vektorkomponente, die wir verwenden sollten, wäre die Komponente senkrecht zur Ebene.

In der Sprache der Vektoren wäre dieser Curl-Operator:

$$\left (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right )\mathbf{i} + \left (\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right )\mathbf{j} + \left (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right )\mathbf{k}$$

HISTORISCHE ENTWICKLUNG

Eine moderne Erklärung mit Vektoren ist das eine, aber die historische Entwicklung interessiert uns hier am meisten. Man könnte wohl direkt vom Satz von Stokes eine Verbindung zur Einführung von curl herstellen. Aus (Katz 1979) gab es einige Hinweise auf den Satz von Stokes, die zu seinem Erscheinen im Smith's Prize Exam führten, aber die Curl-Operation wird ziemlich klar, wenn man sich das Problem selbst ansieht.

Seien X,Y,Z Funktionen der rechtwinkligen Koordinaten$x,y,z$,$dS$ein Element einer begrenzten Oberfläche,$l,m,n$die Kosinusse der Neigungen der Normalen at$dS$zu den Achsen,$ds$ein Element der Grenzlinie, zeige das

$$\iint l \left (\frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}\right ) + m\left (\frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x}\right ) + n \left (\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}\right ) dS = \int \left (X \frac{dx}{ds} + Y \frac{dy}{ds} + Z \frac{dz}{ds} \right )$$ ... wobei das einzelne Integral rund um den Umfang der Oberfläche genommen wird.

Anscheinend tauchte die linke Seite bereits in einigen früheren Werken von Stokes auf, obwohl mir keine frühere Geschichte des Ausdrucks bekannt ist. Was die Einführung der Divergenz betrifft, bin ich sicher, dass die Summe der Ableitungen oft im Kalkül der Quaternionen auftaucht, daher könnte es mehr Arbeit erfordern, den Ursprung dieses Ausdrucks zu verfolgen.

Im Allgemeinen ist ein vollständiges Differential eine Differentialform, die das Differential einer Skalarfunktion ist. Heute würden wir sagen, das Differential ist exakt . Diese Idee kommt sehr natürlich aus der Potentialtheorie, die von Green, Hamilton, Gauss und anderen entwickelt wurde. Es war bekannt, dass die Bedingung für zB ein Quaternion-Differential,

$$\mathbf{A} = A_x dx + A_y dy + A_z dz$$ vollständig zu sein ist das $$\left (\frac{\partial A_y}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial y}\right ) = \left (\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right ) = \left (\frac{\partial A_x}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial x}\right ) = 0$$ Und so müssen wir uns über das Verhalten von Quaternionfeldern wundern, für die dies nicht gilt, und wir fragen uns, ob es genügend Informationen gibt, um ein Quaternionfeld unter Verwendung sowohl der Differentialform als auch der obigen Kreuzableitungen eindeutig zu charakterisieren.

Dies führt uns zu einer 1858 von Helmholtz eingeführten Idee, dass Quaternion-Felder in ihre Curl- und Divergenz-Ausdrücke zerlegt werden können, die wir oben angegeben haben. Helmholtz 'Arbeit On Integrals of the Hydrodynamical Equations, which Express Vortex-Motion (1858) präsentiert ähnliche Größen wie Divergenz und Kräuselung im Zusammenhang mit Fluiddynamik und Wirbeln.

Was die Notationen und Begriffe von Divergenz und Kräuselung betrifft, die Einführung des Symbols$\nabla$sicher etwas zum thema beigetragen. Dies wurde tatsächlich von Hamilton eingeführt und unter anderem von Maxwell und Tait stark genutzt. Insbesondere Maxwell war einer, der Divergenz und Kräuselung eine physikalische Bedeutung beimaß, obwohl sich seine Konventionen etwas von unseren heutigen unterschieden. Er verwendete die Konvergenz , die die negative Divergenz ist, und er nannte Curl die Rotation . Diese sind in Sek. einfach dargelegt. 25 (S.30) von Band 1 seiner Abhandlung.

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Ausgewählte Referenzen

Katz, Victor J. Die Geschichte des Satzes von Stokes. 1979.

Helmholtz, H. Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, die Wirbelbewegungen ausdrücken. 1858.

Maxwell, James C. Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus, Band 1 . 1873.

Tait. Zum Satz von Green . 1872.

Thompson und Tait. Abhandlung über Naturphilosophie. 1879.

Weiterführende Lektüre

Crowe, Michael J. Eine Geschichte der Vektoranalyse. 1967.

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PS Ich bin mit Quaternionen nicht sehr vertraut, also projiziere ich einige der Sachen oben, wo ich "Quaternionfeld" usw. sage, Vektorfeldkonzepte auf Quaternionen. Ich bin mir sicher, dass dies für jemanden, der vertrauter ist, empörend wäre, daher sind Änderungen auf diese Weise (und andere) willkommen.