Unendliche Reihe von Positionsableitungen, wenn man von der Ruhe ausgeht

I) Haftungsausschluss: In dieser Antwort werden wir nur das mathematisch idealisierte klassische Problem betrachten, das an sich interessant ist, wenn auch zugegebenermaßen akademisch und losgelöst von tatsächlichen physikalischen Systemen.

II) Es ist grundsätzlich möglich, dass alle Zeitableitungen der Position$x(t)$verschwindet bei$t=0$, und doch bewegt sich das Teilchen weg (von wo es war$t=0$).

$\uparrow$Abb. 1: Positionsplot$x$als Funktion der Zeit$t$.

Beispiel: Angenommen, die Position sei durch die folgende unendlich oft differenzierbare Funktion gegeben

Beachten Sie, dass die Taylor-Reihe für die$C^{\infty}$-Funktion$x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$im Punkt$t=0$ist identisch gleich Null.$^1$Also die Funktion$x$und seine Taylor-Reihe sind unterschiedlich für$t\neq 0$. Insbesondere schließen wir daraus, dass die reibungslose Funktion $x$ist keine echte analytische Funktion .

III) Wenn Ihnen diese Phys.SE-Frage gefällt, können Sie auch gerne lesen: Welche Situationen in der klassischen Physik sind nicht deterministisch? , Nichteindeutigkeit von Lösungen in der Newtonschen Mechanik und Nortons Kuppel und ihre Gleichung .

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$^1$ Skizzierter Beweis dafür$x\in C^{\infty}(\mathbb{R})$: Erstens natürlich,$x$ist$C^{\infty}$Pro$t\neq 0$. Durch Induktion in$n\in\mathbb{N}_0$, Pro$t\neq 0$, ist es einfach zu folgern, dass die$n$'te Ableitung ist von der Form

Es gibt glatte Funktionen, bei denen alle Ableitungen an einem Punkt (tatsächlich außerhalb eines begrenzten Intervalls) gleich Null sind, aber nicht konstant sind. Sie können zum Beispiel eine glatte Funktion finden$f$so dass$f(t)$und alle seine Derivate sind$0$wann immer$t \le 0$und$f(t) = 1$wann immer$t \ge 1$(und alle Derivate von$f$Null sind, wenn$t \ge 1$). Dann nimmt man die Kraft in Newtons zweitem Gesetz zu sein

Allerdings für eine zeitunabhängige Kraft der IVP

Ihre Frage lautet: "Gibt es eine unendliche Reihe höherer Positionsableitungen, damit dies funktioniert?"

Antwort: Nein.

Die Beschleunigung kann von Null auf etwas springen . Wenn dies der Fall ist, ist seine Ableitung nicht definiert, sodass die Reihe der Positionsableitungen nach der zweiten endet.

Aus der Frage: "Eine Änderung ist Geschwindigkeit ist Beschleunigung, also müsste der Wert der Beschleunigung von Null auf einen bestimmten Wert steigen."

Der erste Teil ist wahr, wir brauchen eine Beschleunigung ungleich Null. Der zweite Teil ist missverständlich formuliert. Es kann als "Beschleunigung muss kontinuierlich zunehmen" gelesen werden, was falsch ist. Im Gegensatz zur Geschwindigkeit kann die Beschleunigung von Null auf etwas springen.

Philosophisch gesehen gibt es kein Gesetz, das besagt: „In der Physik sind Ableitungen immer glatt“. Einige Derivate springen einfach.

Rein rechnerisch würde es so gehen. Wenn Sie das Anfangswertproblem lösen würden, bei dem alle Zeitableitungen der Verschiebung null wären, dann hätten Sie eine Verschiebung von null. Überlege es nicht :)

Nimmt man den Taylor-Reihen-Ansatz an$t=0$In Bezug auf die Zeit wäre das Ergebnis mit allen Ableitungen Null das Ergebnis eine Nullbewegung.

Wenn Bewegung vorhanden ist, müssen einige Ableitungen höherer Ordnung ein Impuls sein$t=0$so dass die Ableitung darunter eine Treppenfunktion ist.

In der Ventiltriebdynamik geschieht dies normalerweise durch die Vorgabe eines linearen Rucks (Stufenschnappen, Impulsknacken, undefiniertes Knacken).

Also bei$t=0$Sie haben den 4. Ableitungsschritt von Null auf$\ddddot{x}>0$und Ruck linear machen$\dddot{x} = C_1 t$, Beschleunigung eine Parabel$\ddot{x} = C_2 t^2$, Geschwindigkeit$\dot{x}=C_3 t^3$und Stellung$x=C_4 t^4$.

In einigen kritischen Anwendungen können Sie einen linearen Schnappschuss angeben, der die Ordnung der Kurve um 1 erhöht, um bestimmte unerwünschte Dynamiken der Ventilfeder zu vermeiden.

_HINWEIS: Snap Crackle und Pop sind echte Begriffe .