Ist es sicher, Ableitungen der Geschwindigkeit bezüglich der Position und umgekehrt zu ignorieren?

Eine Möglichkeit, dies unter Berücksichtigung der Abhängigkeit von zu sehen$\dot{x}$An$x$problematisch ist folgendes:

$x(t)$bildet eine reelle Zahl ab$t$zu einer anderen reellen Zahl$x$. So$\dot{x}=dx/dt$ist die Ableitung dieser Karte, was bedeutet, dass wir nehmen

Das können wir also sehen$dx/dt$ist selbst eine andere Karte aus einer reellen Zahl$t$zu einer reellen Zahl$\dot{x}(t)$($t$ist die unabhängige Variable im obigen Ausdruck). Nun, wenn$x(t)$zufällig invertierbar ist, könnten wir eine einzigartige Karte finden$t(x)$so dass$x(t(x))=x$, und dann definieren$\dot{x}(x) \equiv \dot{x}(t(x))$, und stellen Sie sich vor, eine Ableitung nach x zu nehmen, aber wie wir wissen, sind die meisten Funktionen nicht umkehrbar (z$x^2$hat keine Inverse, die seinen gesamten Bereich abdeckt, da$x^2$könnte entweder zurück zugeordnet werden$x$oder$-x$). So einfach liegen die Dinge also nicht.

Die Sache ist, dass Sie, wenn Sie mit Funktionen einer einzelnen Variablen arbeiten, darauf achten müssen, dass Sie nur eine unabhängige Variable auf einmal haben , selbst wenn wir für andere Funktionen, die von dieser unabhängigen Variablen abhängen, Abkürzungen verwenden. Wenn wir das nicht tun, werden wir Rechenfehler machen. Sagen Sie zum Beispiel$A=A(x,\dot{x},t)=\dot{x}\frac{df}{dx}$, und das ist etwas falsch, weil Sie es als "funktional" und nicht als Funktion mit einer Variablen betrachten$df/dt$, die eigentlich zwei verschiedene Objekte sind. Sie sind unterschiedliche Maps (eine von zwei Variablen und die andere von nur einer), obwohl Sie sie auf die gleiche Weise schreiben können. Im "funktionalen" Fall (ich verwende Angst-Anführungszeichen, weil funktional für mich "von der gesamten Funktion auf eine reelle Zahl abbilden" bedeutet) deklarieren wir einfach$\dot{x}$Und$x$separat unabhängige Variablen zu sein, und fragen, welche reelle Zahl$A$sie bilden ab (seit$df/dx$ist eine Funktion von$x$). Es macht also in diesem Kontext keinen Sinn zu haben$d\dot{x}/dx$etwas anderes als Null sein, es sei denn, wir haben eine zusätzliche Einschränkung.

Denken Sie nur an eine reguläre Funktion zweier Variablen$f(x,y)$. Dann$dx/dy = 0$, es sei denn, wir machen dies ausdrücklich$y$darauf ankommen$x$, wie wenn wir eine Ableitung entlang einer Kurve in nehmen würden$x$-$y$Ebene, und wir können erkennen, dass in diesem Fall die Kettenregel dasselbe ist wie die Formel für eine Richtungsableitung (bis auf die Normierung).

Hoffentlich hilft das.

Wenn man physikalisch denkt, ist es nicht richtig, x (allgemein) als Funktion (al?) Von v (Geschwindigkeit) zu behandeln. Ich bin 30 Fuß über London entlang des Liniensegments, das den Mittelpunkt der Erde und die Sonne verbindet; Was ist meine Geschwindigkeit? Du denkst vielleicht, okay, ich nehme an, er ist im freien Fall und mache einfach ein paar Studienanfänger-Physik, um das Ergebnis zu berechnen. Es ist jedoch durchaus zulässig, dass ich ein Jetpack habe, oder ich könnte mich sogar in einem Gebäude befinden (ob ein Gebäude an einem bestimmten räumlichen Ort existiert oder nicht, scheint zeitabhängig zu sein).

Von einem praktisch-mathematischen Standpunkt aus ist es manchmal in Ordnung, Dinge als Funktionen anderer Dinge zu betrachten, auch wenn dies nicht universell gilt. Zum Beispiel im Fall des freien Falls unter 100% idealen Bedingungen ist die Flugbahn absolut sicher, wenn ich Ihnen sage, wie lange es her ist, seit ich fallen gelassen wurde, könnten Sie mir genau sagen, wie hoch meine Geschwindigkeit ist. Oder wenn ich dir meine Position sage, weißt du, wie schnell ich falle. Oder wenn ich Ihnen meine Geschwindigkeit sage, wissen Sie, was die radialen Positionen der Zeiger meiner Uhr sind (denken Sie daran, 100% ideal).

In diesem Fall können wir also sehr schlampig bei der Behandlung von t(x), v(x), x(v), X(t) sein. Dies liegt jedoch daran, dass wir es mit einem Sonderfall zu tun haben. Im Wesentlichen haben wir einen schönen Graphen, der nur eine bestimmte, sehr streng definierte Parabel mit einem bestimmten Anfang a und einem bestimmten Ende b ist. Es ist eine Frage der Bequemlichkeit, ob Sie in Bezug auf die Positionen a und b oder die Zeiten t(a), t(b) oder die Geschwindigkeiten v(a), v(b) usw. denken oder nicht.

Beachten Sie jedoch, dass wir aus offensichtlichen Gründen kein unendliches Durcheinander von Kettenregeln haben, wenn wir Ableitungen nehmen. Für ein Beispiel wie dieses sind Geschwindigkeit, Position und Zeit in gewissem Sinne unterschiedliche "Basen" oder unterschiedliche Darstellungen derselben Kurve. Ich meine damit, dass jeder der Graphen von v vs t, x vs t, x vs v und alle Inversionen davon (nur das Drehen des Graphen um 90%) gut definiert ist.

Sie können generische Positionen jedoch sicherlich nicht als wohldefinierte Geschwindigkeitsfunktionen (im Sinne eines starren x-v-Diagramms) behandeln. (Denken Sie an Galileo!)

Für einen bestimmten Weg$x(t)$,$x$Und$\dot x$sind nicht unabhängig voneinander, weil sie beide von t abhängen. Andererseits können Sie den Pfad ändern$x(t)$zu einem anderen Weg$x'(t)$so dass für dasselbe t die momentane Geschwindigkeit und Position für einen Pfad unterschiedlich zum anderen sind. In diesem Sinne können Sie also für eine feste Zeit t die momentane Position und Geschwindigkeit unabhängig voneinander variieren, um eine neue Bahn zur gleichen Zeit t zu definieren.