Satz von Noether und Impulserhaltung

Wie wir alle wissen, besagt der Satz von Noether für ein System mit Translationssymmetrie, dass der Impuls erhalten bleibt, genauer gesagt besagt der Satz, dass die Größe:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$ also bleibt der verallgemeinerte Impuls erhalten. Hier habe ich ein Problem: Angenommen, ich möchte dieses klassische Momentum zeigen$p=mv$in einem System mit Translationssymmetrie erhalten bleibt (auch natürlich hängt die potentielle Energie im Lagrange nicht von der Geschwindigkeit ab) Ich habe dann: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial K}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\frac{1}{2}m\dot{x}^2=m\dot{x}.$$ Perfekt! Aber angenommen, ich möchte eine Parametrisierung für mein System verwenden, also: $$x(t)=\Gamma(q(t))$$ wie wir es normalerweise in der Lagrange-Mechanik tun, dann habe ich, dass die Erhaltungsgröße immer noch ist: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$ Tatsächlich besagt der Satz von Noether, dass der verallgemeinerte Impuls erhalten bleibt, und dies ist per Definition der verallgemeinerte Impuls. Na dann habe ich: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\frac{1}{2}m\dot{q}^2|\Gamma ' (q)|^2=m\dot{q}|\Gamma ' (q)|^2=mv|\Gamma ' (q)|.$$ Was zur Hölle ist das?? Außerdem, wenn ich wähle$\Gamma$um eine Linie mit folgender Parametrisierung darzustellen: $$\Gamma = \begin{bmatrix}kq \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}.$$ Ich bekomme: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mv|k|$$ also hängt die Erhaltungsgröße von der Parametrierung ab??? Nun: Ich weiß natürlich, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe; vielleicht auf den Inhalt von Noethers Theorem (auch wenn ich den Inhalt dieses Theorems direkt aus meinem Buch der Lagrange-Mechanik genommen habe) oder vielleicht woanders. Meine Fragen sind:

1. Warum erhalte ich dieses Ergebnis?
2. Wie kann ich diesen Schwung zeigen?$p=mv$für ein symmetrisch translationales System unter Verwendung des Satzes von Noether und unter Verwendung einer beliebigen Parametrisierung erhalten bleibt$\Gamma$Ich will?
3. Stimmt es, dass der verallgemeinerte Impuls für jedes symmetrisch translatorische System erhalten bleibt?
4. Wenn die Erhaltung des verallgemeinerten Impulses die Erhaltung des klassischen Impulses impliziert?

Das ist mein Problem; hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Bitte versuchen Sie mir eine vollständige Antwort zu geben, dieses Problem nervt mich sehr.