Konservierte Ströme für Lagrange, gegeben durch eine Spur

Question

Konservierte Ströme für Lagrange, gegeben durch eine Spur

Physik
Noethers-Theorem
lagrangescher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie
Hausaufgaben-und-Übungen

mikis

Lassen Sie die Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ gegeben werden von $\mathcal{L}=\mathrm{Tr}\left(\partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U\right)$ , Wo $U=U(x)\in U(N)$ . Angenommen, es gibt zwei Matrizen $A,B\in SU(N)$ und erwäge eine Verwandlung $U(x)\rightarrow A^\dagger U(x)B$ . Das kann man leicht überprüfen $\mathcal{L}$ ist unter einer solchen Transformation unveränderlich, daher existieren nach dem Satz von Nother konservierte Ströme $j_{A,B}$ hing von der Wahl der Matrizen ab $A,B$ . Meine Frage ist, wie man diese Ströme ableitet? Ich kenne die allgemeine Formel, die im Beweis des Satzes von Noether angegeben ist, aber ich weiß nicht, wie man Ableitungen behandelt $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu U(x))}$ in diesem Fall. Darüber hinaus müssen wir erhalten $\delta U(x)$ . Ich denke, der letzte kann mit der Darstellung von erhalten werden $A,B$ , die nahe bei Eins liegen, durch den Exponenten von Generatoren geeigneter Lie-Algebra.

Kosmas Zachos

Dies ist offensichtlich eine triviale Hausaufgabe, die Ihnen Ihr Lehrer gegeben hat, um sicherzustellen, dass Sie die beteiligten Symbole verstehen. Würde es Ihnen helfen, die Matrizen als Summen der jeweiligen zwei Indizes der jeweiligen zwei Matrizen U und ihrer hc zu schreiben? Wenn die beiden Matrizen in U(N) sind , sind sie um die Identität A ~ erweiterbar

1 1 + i a T

$1\!\!\!1 +iaT$ , also dann

δ U = i a T U

$\delta U= ia T U$ , etc... unter Ausnutzung der Zyklizität der Spur, haben Sie Ihre Antwort nicht? Sie müssen nur verstehen, was Gurseys elegante chirale Notation tatsächlich bedeutet.

mikis

Dies ist eine Übung, die ich beim Lesen eines Buches über Feldtheorie gefunden habe. Ich habe versucht zu expandieren

A \sim 1 + i \sum_{j}^{N^{2} - 1} a_{j} T^{j}

$A\sim 1+i\sum_{j}^{N^2-1}a_j T^j$ , aber jetzt sehe ich, es ist genug zu nehmen

A \sim 1 + i a T

$A\sim 1+iaT$ wie du geschrieben hast. Die Frage ist, wie behandelt man das Derivat?

U (N)

$U(N)$ ist kein Banachraum - wir können ihn nicht berechnen.

Kosmas Zachos

Banach ? Überlegst du es nicht? Ich habe Sie ermutigt, Ableitungen von Matrixelementen zu nehmen. Sehen Sie sich auf jeden Fall an, wie Sie die Rechtsinvariante, also den Linksstrom ,

j_{A} \propto i U \partial_{μ} U^{†}

$j_A\propto i U\partial_\mu U^\dagger$ und die rechte, also linksinvariante,

j_{B} \propto i U^{†} \partial_{μ} U

$j_B \propto i U^\dagger \partial_\mu U$ .

mikis

OK. Mein Hauptproblem war, was es bedeutet

\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} U)}

$\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U)}$ , Wo

U \in U (N)

$U\in U(N)$ oder allgemeiner, wenn

G

$G$ ist eine Lügengruppe und

g \in G

$g\in G$ was ist

\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} g)}

$\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu g)}$ . Das Problem, direkt daran zu denken, ist, dass wir keine lineare Struktur haben

U (N)

$U(N)$ , also wissen wir formal nicht, wie wir diese Ableitungen verstehen sollen. Zusammenfassend bedeutet diese Ableitungen

{(\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} U_{a b})})}_{a, b}

$\left( \frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U_{ab})}\right)_{a,b}$ , Rechts ?

Kosmas Zachos

Ich bin immer noch ratlos, was Sie stört und warum Sie sich vorstellen, dass es keine (bi)lineare Struktur gibt. Liest du nicht diesen Tr

\partial_{μ} U^{†} \partial_{μ} U = \sum_{a, b} \partial_{μ} U_{a b}^{†} \partial_{μ} U_{b a}

$\partial_\mu U^\dagger \partial_\mu U=\sum_{a,b}\partial_\mu U^\dagger_{ab} \partial_\mu U_{ba}$ ? Sie betrachten also jeden

U_{a b}

$U_{ab}$ als separate Variable, die den hc-Partner richtig interpretiert.

mikis

Es gibt keine lineare Struktur auf

U (N)

$U(N)$ (Zum Beispiel

U (1)

$U(1)$ ist ein Kreis, der kein linearer topologischer Raum ist - wenn wir hinzufügen

r \in U (1)

$r\in U(1)$ Zu

- r \in U (1)

$-r\in U(1)$ dann erhalten wir

0

$0$ , die nicht zum Kreis gehören). Wir können Differentiation nur bzgl. Elementen des linearen Raums definieren (manchmal brauchten wir auch Banach-Strukturen), also können wir nicht definieren

\frac{\partial}{\partial U}

$\frac{\partial}{\partial U}$ für

U \in U (N)

$U\in U(N)$ usw. Jetzt verstehe ich, was dieses Symbol bedeutet, aber in meinem Buch wurde es nicht definiert. Ich versuchte zu denken

U (x)

$U(x)$ als eine Variable statt

U_{a b}

$U_{ab}$ als separate Variablen. Ich werde versuchen, es so zu machen, wie du es geschrieben hast. Danke!

geniert

@CosmasZachos Ich denke jedoch nicht, dass das Obige ein "triviales Hausaufgabenproblem" ist. Das Noether-Theorem bezieht Gruppen stetiger Symmetrien auf Erhaltungssätze: im vorliegenden Fall mit

U (N)

$U(N)$ Bei endlichdimensionalen Darstellungen kann jeder Operator fein in seine Basis zerlegt werden und die Spur kann, wie Sie gezeigt haben, durch Summieren über die diagonalen Terme berechnet werden, ohne sich Gedanken über eine starke Konvergenz im Sinne des Operators machen zu müssen. Im Falle von Gruppen von Operatoren, die keine trivialen endlichdimensionalen Darstellungen besitzen, ist das Problem stattdessen nicht trivial ...

geniert

... und es lohnt sich, noch ein paar Worte darüber zu verlieren, was es für einen solchen Lagrange bedeutet, eine Transformation der oben gezeigten Art zu durchlaufen.

Kosmas Zachos

@GennaroTedesco Ich bin mir nicht sicher, wonach du suchst. Die hauptsächlichen chiralen Modelle sind das A und O der Flavour-Dynamik-effektiven FTs in der Teilchenphysik, und die Flavour-Gruppe ist ein endliches N SU(N) . Die U s sind dumme kleindimensionale Matrizen mit Mesonen. Die fundamentale Rep für N ⟶ ∞ ist zwar unendlichdimensional, kann aber in dieser Grenze glatt erhalten werden. Soweit A und B Gruppenelemente von SU(N) sind , sind sie im Grunde exp( ia · T ) s, also stetige Gruppen. Die Invarianz der Lagrange-Funktion ist offensichtlich. Jeder QFT-Text mit Selbstachtung deckt sie ab.

Kosmas Zachos

Wohl Abschnitt 3 unserer älteren Abhandlung überprüft und interpretiert diese Modelle geometrisch, zu Ihrer Zufriedenheit, oder nicht ....

geniert

@CosmasZachos Vielleicht hast du meinen Kommentar oben nicht gründlich gelesen. Im Falle von

S U (N)

$SU(N)$ alles ist offensichtlich trivial. Im Falle verschiedener Gruppen kann die Angelegenheit gemäß der Struktur der Gruppe und ihrer Repräsentationen nicht trivial werden, da es möglicherweise nicht trivial wird, überhaupt zu definieren, was eine kontinuierliche Symmetrie für diese Gruppe ist. Ich wollte nur anmerken, dass die Übung zwar durch Brute-Force-Summierung über die Spur gelöst werden kann, die Frage selbst jedoch nicht.

Kosmas Zachos

Ich kann immer noch nicht erraten, was Sie möglicherweise suchen. Wenn Sie eine unabhängige Frage dazu gestellt haben, stellen Sie sicher, dass Sie jeden Begriff eindeutig definieren.

flippiefanus

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Noetherstrom zu berechnen. Man kann zum Beispiel den Pfadintegralansatz verwenden.

Antworten (1)

Konservierte Ströme für Lagrange, gegeben durch eine Spur

Dies ist offensichtlich eine triviale Hausaufgabe, die Ihnen Ihr Lehrer gegeben hat, um sicherzustellen, dass Sie die beteiligten Symbole verstehen. Würde es Ihnen helfen, die Matrizen als Summen der jeweiligen zwei Indizes der jeweiligen zwei Matrizen U und ihrer hc zu schreiben? Wenn die beiden Matrizen in U(N) sind , sind sie um die Identität A ~ erweiterbar $1\!\!\!1 +iaT$ , also dann $\delta U= ia T U$ , etc... unter Ausnutzung der Zyklizität der Spur, haben Sie Ihre Antwort nicht? Sie müssen nur verstehen, was Gurseys elegante chirale Notation tatsächlich bedeutet.
Dies ist eine Übung, die ich beim Lesen eines Buches über Feldtheorie gefunden habe. Ich habe versucht zu expandieren $A\sim 1+i\sum_{j}^{N^2-1}a_j T^j$ , aber jetzt sehe ich, es ist genug zu nehmen $A\sim 1+iaT$ wie du geschrieben hast. Die Frage ist, wie behandelt man das Derivat? $U(N)$ ist kein Banachraum - wir können ihn nicht berechnen.
Banach ? Überlegst du es nicht? Ich habe Sie ermutigt, Ableitungen von Matrixelementen zu nehmen. Sehen Sie sich auf jeden Fall an, wie Sie die Rechtsinvariante, also den Linksstrom , $j_A\propto i U\partial_\mu U^\dagger$ und die rechte, also linksinvariante, $j_B \propto i U^\dagger \partial_\mu U$ .
OK. Mein Hauptproblem war, was es bedeutet $\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U)}$ , Wo $U\in U(N)$ oder allgemeiner, wenn $G$ ist eine Lügengruppe und $g\in G$ was ist $\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu g)}$ . Das Problem, direkt daran zu denken, ist, dass wir keine lineare Struktur haben $U(N)$ , also wissen wir formal nicht, wie wir diese Ableitungen verstehen sollen. Zusammenfassend bedeutet diese Ableitungen $\left( \frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U_{ab})}\right)_{a,b}$ , Rechts ?
Ich bin immer noch ratlos, was Sie stört und warum Sie sich vorstellen, dass es keine (bi)lineare Struktur gibt. Liest du nicht diesen Tr $\partial_\mu U^\dagger \partial_\mu U=\sum_{a,b}\partial_\mu U^\dagger_{ab} \partial_\mu U_{ba}$ ? Sie betrachten also jeden $U_{ab}$ als separate Variable, die den hc-Partner richtig interpretiert.
Es gibt keine lineare Struktur auf $U(N)$ (Zum Beispiel $U(1)$ ist ein Kreis, der kein linearer topologischer Raum ist - wenn wir hinzufügen $r\in U(1)$ Zu $-r\in U(1)$ dann erhalten wir $0$ , die nicht zum Kreis gehören). Wir können Differentiation nur bzgl. Elementen des linearen Raums definieren (manchmal brauchten wir auch Banach-Strukturen), also können wir nicht definieren $\frac{\partial}{\partial U}$ für $U\in U(N)$ usw. Jetzt verstehe ich, was dieses Symbol bedeutet, aber in meinem Buch wurde es nicht definiert. Ich versuchte zu denken $U(x)$ als eine Variable statt $U_{ab}$ als separate Variablen. Ich werde versuchen, es so zu machen, wie du es geschrieben hast. Danke!
@CosmasZachos Ich denke jedoch nicht, dass das Obige ein "triviales Hausaufgabenproblem" ist. Das Noether-Theorem bezieht Gruppen stetiger Symmetrien auf Erhaltungssätze: im vorliegenden Fall mit $U(N)$ Bei endlichdimensionalen Darstellungen kann jeder Operator fein in seine Basis zerlegt werden und die Spur kann, wie Sie gezeigt haben, durch Summieren über die diagonalen Terme berechnet werden, ohne sich Gedanken über eine starke Konvergenz im Sinne des Operators machen zu müssen. Im Falle von Gruppen von Operatoren, die keine trivialen endlichdimensionalen Darstellungen besitzen, ist das Problem stattdessen nicht trivial ...
... und es lohnt sich, noch ein paar Worte darüber zu verlieren, was es für einen solchen Lagrange bedeutet, eine Transformation der oben gezeigten Art zu durchlaufen.
@GennaroTedesco Ich bin mir nicht sicher, wonach du suchst. Die hauptsächlichen chiralen Modelle sind das A und O der Flavour-Dynamik-effektiven FTs in der Teilchenphysik, und die Flavour-Gruppe ist ein endliches N SU(N) . Die U s sind dumme kleindimensionale Matrizen mit Mesonen. Die fundamentale Rep für N ⟶ ∞ ist zwar unendlichdimensional, kann aber in dieser Grenze glatt erhalten werden. Soweit A und B Gruppenelemente von SU(N) sind , sind sie im Grunde exp( ia · T ) s, also stetige Gruppen. Die Invarianz der Lagrange-Funktion ist offensichtlich. Jeder QFT-Text mit Selbstachtung deckt sie ab.
Wohl Abschnitt 3 unserer älteren Abhandlung überprüft und interpretiert diese Modelle geometrisch, zu Ihrer Zufriedenheit, oder nicht ....
@CosmasZachos Vielleicht hast du meinen Kommentar oben nicht gründlich gelesen. Im Falle von $SU(N)$ alles ist offensichtlich trivial. Im Falle verschiedener Gruppen kann die Angelegenheit gemäß der Struktur der Gruppe und ihrer Repräsentationen nicht trivial werden, da es möglicherweise nicht trivial wird, überhaupt zu definieren, was eine kontinuierliche Symmetrie für diese Gruppe ist. Ich wollte nur anmerken, dass die Übung zwar durch Brute-Force-Summierung über die Spur gelöst werden kann, die Frage selbst jedoch nicht.
Ich kann immer noch nicht erraten, was Sie möglicherweise suchen. Wenn Sie eine unabhängige Frage dazu gestellt haben, stellen Sie sicher, dass Sie jeden Begriff eindeutig definieren.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Noetherstrom zu berechnen. Man kann zum Beispiel den Pfadintegralansatz verwenden.

flippiefanus · Answer 1

Da es als Hausaufgabe gekennzeichnet ist, soll ich das Problem wahrscheinlich nicht lösen, aber ich kann einige Hinweise geben, wie ich das Problem angehen würde. Angenommen, man möchte den Standardansatz verwenden, um den Noetherstrom abzuleiten, würde ich vorschlagen, dass man das Problem nicht überdenkt und einfach behandelt $U$ als (matrixwertige) Funktionen. Man kann die Ableitungen dann wie üblich als funktionale Ableitungen anwenden (aber ich verwende die normale Notation für Ableitungen). Man bräuchte eine Regel zur Anwendung der funktionalen Ableitungen. Wenn man die Indizes der Matrizen explizit machen würde, hätte man das getan

\frac{\partial [U (X)]_{A B}}{\partial [U (j)]_{C D}} = δ (X - j) δ_{A}^{C} δ_{B}^{D} .

$\frac{\partial [U(x)]_{ab} }{\partial[U(y)]_{cd}} = \delta(x-y)\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{d} .$ Sie können dies nun auf den Fall verallgemeinern

U

$U$ wird ersetzt durch

\partial_{μ} U

$\partial_{\mu} U$ .

Eine weitere wichtige Sache, die man sich merken sollte, ist, dass die Ableitung der Adjunkten nicht Null ist.

\frac{\partial U^{†}}{\partial U} \neq 0 .

$\frac{\partial U^{\dagger} }{\partial U}\neq 0 .$

Dafür kann man verwenden

U^{†} = U^{†} U U^{†} .

$U^{\dagger} = U^{\dagger}UU^{\dagger} .$

Wenn Sie immer noch nicht weiterkommen, lassen Sie es mich wissen, dann kann ich vielleicht auf einige dieser Punkte eingehen.

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flippiefanus

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flippiefanus

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