Anwendung des Satzes von Noether

Da das Problem von OP wie eine Hausaufgabe aussieht, werden wir OP nur eine Reihe von Hinweisen geben und keine vollständige Lösung.

I) Der Lagrange$L~=~\int \! dx ~{\cal L}$ist das räumliche Integral der Lagrange-Dichte${\cal L}$. Nennen wir das Positionsfeld$q(x,t)$und das entsprechende Geschwindigkeitsfeld$v(x,t)$. Der Lagrange$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]$ist ein Funktional des Orts- und des Geschwindigkeitsfeldes, vgl. zB diese Phys.SE-Antwort. Das Impulsfeld ist die funktionale Ableitung

$$\tag{1} p(x,t)~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]}{\delta v(x,t)}.$$

Eine unendlich kleine Variation$\delta L$des Lagrange-Funktionals$L$wird von gegeben

$$\tag{2} \delta L~=~\int \! dx~\left( \frac{\delta L}{\delta q}\delta q+\frac{\delta L}{\delta v}\delta v \right).$$ Die Übung fordert OP im Grunde auf, eine funktionale Version von Noethers Theorem abzuleiten , die er wahrscheinlich für die gewöhnliche Punktmechanik kennt.

II) Let

$$\tag{3} \delta q~=~\varepsilon Y$$ sei eine infinitesimale Variation des Positionsfeldes, wo $\varepsilon$eine infinitesimale Konstante ist, und wo $Y$ist der Generator. Entsprechend transformiert sich das Geschwindigkeitsfeld als $$\tag{4}\delta v~=~\varepsilon \dot{Y}.$$ (Die Transformation (3) ist eine sogenannte vertikale Transformation. Generell könnte man auch horizontale Beiträge durch Variation von zulassen $x$Und $t$.)

III) Nehmen Sie an, dass die Transformation (2) eine sogenannte Quasi-Symmetrie ist

$$\tag{5} \delta\left(\left. L \right|_{v=\dot{q}}\right)~=~ \varepsilon\frac{d}{dt} \left(\left. F\right|_{v=\dot{q}}\right),$$ Wo $F[q(\cdot,t),v(\cdot,t)]$ist etwas funktional. (Wenn $F=0$Null ist, dann wird die Quasi-Symmetrie zu einer Symmetrie der Lagrange-Funktion $L$.)

IV) Die (zeitliche Komponente des) bloßen Noetherstroms $j^0$für eine vertikale Transformation ist (3) einfach das Impulsfeld$p$mal den vertikalen Generator$Y$,

$$\tag{6} j^0 ~:=~p Y.$$

Die bloße Noether-Ladung$Q^0$ist das räumliche Integral

$$\tag{7} Q^0 ~:=~ \int \! dx~j^0.$$

Die volle Noetherladung$Q$wird mit (minus) dem verbessert$F$-funktional,

$$\tag{8} Q ~:=~Q^0-F.$$

Formel (8) entspricht der letzten Formel von OP (v1). Das besagt der Satz von Noether$Q$ist eine Erhaltungsgröße auf der Schale, dh wenn die Bewegungsgleichung

$$\tag{9} \left.\frac{d}{dt} \left(\frac{\delta L}{\delta v}\right|_{v=\dot{q}}\right)~=~\left. \frac{\delta L}{\delta q}\right|_{v=\dot{q}}$$

ist befriedigt. Der Beweis in der funktionalen Einstellung ist dem üblichen Beweis in der gewöhnlichen Punktmechanik sehr ähnlich.