Nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung

Für die nichtlineare Gleichung von Klein Gordon gilt:

u T T − Δ u + F ( u ) = 0 ,

Wie könnte ich den Satz von Noether verwenden, um zu beweisen, dass es eine Erhaltungsgröße gibt? Dh,

( Π k ) T − D ich v ( J k ) = 0
für k = 0 , 1 , 2 , 3 , Wo

Π k = ∫ R 3 P ( X , j , z , T ) D v
ist die Dichte des Viererimpulses.

Schreiben Sie eine Lagrange-Dichte auf, die diese Gleichung erzeugt, und beachten Sie, dass sie so gewählt werden kann, dass sie unter Raum-Zeit-Translationen invariant ist ...

Antworten (1)

Definieren F ( u ) := ∫ 0 u F ( S ) D S , also die Gleichungen für das Feld u ( T , X → ) kann umgeschrieben werden als

∂ 2 u ∂ T 2 − Δ X → u + D F D u = 0 :
Wenn definiert
L := 1 2 ( − ∂ T u ∂ T u + ∇ u ⋅ ∇ u ) + F ( u ) .
diese Lagrange-Dichte führt zu Ihren Feldgleichungen.

Außerdem, wie Sie direkt sehen können, L ist unter räumlichen Übersetzungen invariant, da es nicht explizit davon abhängt X → . Es ist auch unter zeitlichen Übersetzungen invariant, da es nicht explizit davon abhängt T . Daher können Sie den Satz von Noether anwenden und erhalten vier Erhaltungsgrößen. Sie sind die vier integrierten "Ladungen", die dem Spannungs-Energie-Tensor zugeordnet sind, dh die Komponenten des gesamten Vierer-Impulses.

Ich weiß, dass die Gleichung unter Traslation invariatn ist, aber was genau das ist J k Sind ?
Betrachten Sie den Spannungsenergietensor T B A = ∂ L ∂ ∂ u ∂ X A ∂ u ∂ X B − δ B A L , die aufgrund des Satzes von Noether im Hinblick auf die Translationsinvarianz erhalten bleibt. J A = ∫ R 3 T A 0 D 3 X , A = 0 , 1 , 2 , 3 .
Ich verstehe das, danke: D, aber wie könnte ich von hier aus zur endgültigen Gleichung gelangen? ( Π k ) T + D ich v J = 0
Entschuldigung, es gibt ein Durcheinander mit meinen und Ihren Notationen. Von nun an verwende ich nur noch die Bezeichnungen, die Sie in Ihrer Frage übernommen haben. Verwenden T B A wie oben definiert: Π k = T k 0 Und J k ich = T k ich , ich = 1 , 2 , 3 . Das beweist der Satz von Noether ∑ A = 0 3 ∂ A T k A = 0 . Wenn Sie es mit Ihren Notationen umformen, finden Sie: ( Π k ) T + D ich v ( J k ) = 0 . Ich verstehe Ihre letzte Identität nicht, die Sie in Ihrer Frage geschrieben haben. Es ist nicht kohärent mit den vorherigen Identitäten.
Nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung
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