Satz von Noether und Energie im Viererimpuls

Question

Satz von Noether und Energie im Viererimpuls

WillG

In der Newtonschen Physik werden Impuls und Energie oft als unterschiedliche Einheiten behandelt, die zufällig separat erhalten werden. In der Relativitätstheorie wird Energie als die „Zeit“-Komponente des Vierer-Impulses betrachtet. Energie und Impuls werden immer noch getrennt konserviert, aber sie vermischen sich unter Lorentz-Transformationen auf eine Weise, die Energie mit Zeit und Impuls mit Raum identifiziert.

Inzwischen gibt es in der Newtonschen Physik eine analoge Beziehung Energie:Zeit::Impuls:Raum, die in der Hamiltonschen Formulierung deutlich wird. Der Hamiltonoperator (Energie) ist der Generator von Zeitverschiebungen, während das Momentum der Generator von Raumverschiebungen ist.

Was ist das "Geheimnis" dahinter? Wie in den Kommentaren erwähnt, bezieht sich Noethers Theorem auf Energie und Zeit über die Zeitübersetzungssymmetrie in der Newtonschen Mechanik, sodass diese Symmetrie wahrscheinlich auch in der Relativitätstheorie eine Rolle spielt. Aber wie? Gibt es eine klare Argumentationslinie, die von Noethers Theorem + Raumzeit-Translationssymmetrie in der Relativitätstheorie zu "Energie und Impuls kombiniert als Vierervektor" führt?

Marius Ladegard Meyer

Die Antwort auf die Frage im Titel ist definitiv der Satz von Noether . Aber es scheint, als ob Sie auch einen subtileren Punkt fragen, der die Verbindung zwischen Energie und Impuls im Körper des Pfostens beinhaltet und wie sie im relativistischen 4-Impuls "verschmolzen" sind. Lese ich deine Frage richtig?

WillG

@MariusLadegårdMeyer Ja. Wenn der Satz von Noether die Antwort ist, dann lautet meine Frage: "Wie erklärt die Zeitübersetzungssymmetrie + der Satz von Noether, warum es sinnvoll ist, Energie in die Zeitkomponente des Viererimpulses einzubringen?"

Marius Ladegard Meyer

Okay danke. Meiner Meinung nach sollten Sie die Frage / den Titel mit dieser Klarstellung aktualisieren, da dies möglicherweise zu besseren Antworten führt.

Photon

Wenn Energie der Erzeuger der Zeitverschiebung und Impuls der Erzeuger der räumlichen Verschiebung ist, müssen wir, wenn wir Position und Zeit in einen Vierervektor in der Raumzeit setzen, automatisch ihre Erzeuger, Energie und Impuls in einen Vierervektor in Vier stellen -dimensionaler Impulsraum.

QMechaniker

Die Frage (v4) ist noch nicht klar. Es scheint, dass die Antwort lautet: "So funktioniert Noethers Theorem überhaupt".

WillG

@Qmechanic Ich sehe das nicht so. Auf der einen Seite haben wir den Satz von N, der besagt, dass sich Energie in einer Hamiltonschen Formulierung von SR auf eine bestimmte Weise auf Zeitverschiebungen beziehen muss. Andererseits haben wir die Tatsache, dass ein Teilchen mit Energie

E

$E$ und Schwung

\vec{p}

$\vec p$ in einem Bezugssystem beobachtet werden

Λ (E, \vec{p})

$\Lambda(E,\vec p)$ in einem Bezugssystem, dessen Raum-Zeit-Koordinaten durch die Lorentz-Transformation gegeben sind

Λ .

$\Lambda.$

WillG

Ich würde zustimmen, dass dies ziemlich natürlich erscheint, besonders im Nachhinein. Aber der Satz von N sagt einfach nichts darüber aus, wie sich Größen unter Referenzänderungen verändern. Ich denke also, dass einige Argumentationslinien von A nach B noch dargelegt werden müssen.

Antworten (1)

Satz von Noether und Energie im Viererimpuls

Die Antwort auf die Frage im Titel ist definitiv der Satz von Noether . Aber es scheint, als ob Sie auch einen subtileren Punkt fragen, der die Verbindung zwischen Energie und Impuls im Körper des Pfostens beinhaltet und wie sie im relativistischen 4-Impuls "verschmolzen" sind. Lese ich deine Frage richtig?
@MariusLadegårdMeyer Ja. Wenn der Satz von Noether die Antwort ist, dann lautet meine Frage: "Wie erklärt die Zeitübersetzungssymmetrie + der Satz von Noether, warum es sinnvoll ist, Energie in die Zeitkomponente des Viererimpulses einzubringen?"
Okay danke. Meiner Meinung nach sollten Sie die Frage / den Titel mit dieser Klarstellung aktualisieren, da dies möglicherweise zu besseren Antworten führt.
Wenn Energie der Erzeuger der Zeitverschiebung und Impuls der Erzeuger der räumlichen Verschiebung ist, müssen wir, wenn wir Position und Zeit in einen Vierervektor in der Raumzeit setzen, automatisch ihre Erzeuger, Energie und Impuls in einen Vierervektor in Vier stellen -dimensionaler Impulsraum.
Die Frage (v4) ist noch nicht klar. Es scheint, dass die Antwort lautet: "So funktioniert Noethers Theorem überhaupt".
@Qmechanic Ich sehe das nicht so. Auf der einen Seite haben wir den Satz von N, der besagt, dass sich Energie in einer Hamiltonschen Formulierung von SR auf eine bestimmte Weise auf Zeitverschiebungen beziehen muss. Andererseits haben wir die Tatsache, dass ein Teilchen mit Energie $E$ und Schwung $\vec p$ in einem Bezugssystem beobachtet werden $\Lambda(E,\vec p)$ in einem Bezugssystem, dessen Raum-Zeit-Koordinaten durch die Lorentz-Transformation gegeben sind $\Lambda.$
Ich würde zustimmen, dass dies ziemlich natürlich erscheint, besonders im Nachhinein. Aber der Satz von N sagt einfach nichts darüber aus, wie sich Größen unter Referenzänderungen verändern. Ich denke also, dass einige Argumentationslinien von A nach B noch dargelegt werden müssen.

Nickolas Alves · Answer 1

Du hast die Frage ziemlich alleine beantwortet. Man kann die eigentliche Definition von Energie (Impuls) als „Die Noether-Ladung in Verbindung mit Zeit-(Raum-)Translationen“ verstehen.

Betrachten Sie zum Beispiel den Lagrange-Operator für ein freies relativistisches Teilchen,

L = \frac{1}{2} U^{μ} U_{μ},

$L = \frac{1}{2} U^\mu U_\mu,$ Wo

U^{μ}

$U^\mu$ ist die Vierergeschwindigkeit. Wenn wir eine Transformation der Koordinaten machen

x^{μ} \to x^{μ} + ϵ ψ^{μ}

$x^\mu \to x^\mu + \epsilon\psi^\mu$ , bleibt die Lagrange-Funktion invariant (die Koordinaten sind alle zyklisch), und daher gibt es eine zugehörige Erhaltungsgröße. Pflücken

ψ^{ν} = δ^{ν μ}

$\psi^\nu = \delta^{\nu\mu}$ für verschiedene Auswahlmöglichkeiten

ν

$\nu$ und unter Verwendung des Satzes von Noether finden wir das

- \sum_{v} \frac{\partial L}{\partial U^{v}} ψ^{v} = - \frac{\partial L}{\partial U^{μ}} = - M U_{μ}

$- \sum_{\nu} \frac{\partial L}{\partial U^\nu} \psi^\nu = - \frac{\partial L}{\partial U^\mu} = - m U_\mu$ sind Bewegungskonstanten. Wir sehen, dass wir diese Größen durch Definition in einem Vierervektor anordnen können

p^{μ} = m U^{μ}

$p^\mu = m U^\mu$ Wenn wir die expliziten Ausdrücke für jede Komponente analysieren, werden wir feststellen, dass es sich genau um die Energie (die in der nicht-relativistischen Physik mit Zeitübersetzungen verbunden war) und die Impulse (mit Zeitübersetzungen verbunden) handelt.

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Marius Ladegard Meyer

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Photon

QMechaniker

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Nickolas Alves

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