Zweifel mit relativistischem Lagrange-Ausdruck

Beachten Sie bei Ihrer zweiten Frage, dass Ihr Hamiltonoperator tatsächlich ist

$$\mathcal{H}=\frac{p_{\alpha}p^{\alpha}}{2m}$$

Weil$\mathcal{H}=\mathcal{H}\left(x^{\alpha},p_{\alpha}\right)$Sie dürfen es also nicht verwenden$u_{\alpha}$. Testen wir es, indem wir versuchen, Hamiltons Gleichungen aufzustellen

$$\begin{cases}\frac{{\rm d}p_{\alpha}}{{\rm d}\tau}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial x^{\alpha}}=0\\\frac{{\rm d}x^{\alpha}}{{\rm d}\tau}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p_{\alpha}}=\frac{p^{\alpha}}{m}\end{cases}$$

Das ist genau identisch mit Ihrer Gleichung unter Verwendung der Lagrange-Mechanik, also scheint es, als hätten Sie den richtigen Hamilton-Operator konstruiert. Denken Sie daran, dass der Hamilton-Operator nicht die Gesamtenergie ist, es ist in einigen Fällen einfach so. Der entscheidende Punkt hier ist, dass Sie nicht setzen können$p_{\alpha}p^{\alpha}=m^{2}c^{2}$, aus denselben Gründen, die Sie nicht angegeben haben$u_{\alpha}u^{\alpha}=c^{2}$im Lagrange endet mit

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}mc^{2}$$

Dass beides$\mathcal{L}$Und$\mathcal{H}$sind Konstanten, wenn Sie die Intervalle ersetzen, bedeutet, dass sie Konstanten über Trajektorien sind.

EDIT 1: Wenn Sie möchten, dass Ihr Hamilton-Operator die Gesamtenergie ist, sollten Sie Ihren Lagrange-Operator als schreiben

$$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

und verwenden$t$anstatt$\tau$zu bekommen

$$\boldsymbol{p}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$ und so

$$\mathcal{H}^{\prime}=\frac{\partial\mathcal{L}^{\prime}}{\partial\boldsymbol{v}}\cdot\boldsymbol{v}-\mathcal{L}^{\prime}=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+mc^{2}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=$$

$$=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma mc^{2}$$

EDIT 2: Um den Lagrange zu bekommen$\mathcal{L}^{\prime}=-\frac{mc^{2}}{\gamma}$von dir solltest du dir die aktion anschauen

$$S\left[u_{\alpha}\right]=\int\mathcal{L}{\rm d}\tau$$

Unser Ziel ist es, Variablen zu ändern$\boldsymbol{x},\boldsymbol{v},t$anstatt$x^{\alpha},u_{\alpha},\tau$. Verwenden$\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}=\frac{1}{\gamma}$das gibt

$$S\left[\boldsymbol{x}\right]=\int\mathcal{L}\frac{{\rm d}\tau}{{\rm d}t}{\rm d}t=\int\frac{mc^{2}}{2\gamma}{\rm d}t$$ So bekommen wir unseren neuen Lagrange

$$\mathcal{L}^{\prime\prime}=\frac{mc^{2}}{2\gamma}=-\frac{1}{2}\mathcal{L}^{\prime}$$

Dies ist identisch mit$\mathcal{L}^{\prime}$bis auf eine Konstante, also die Physik von$\mathcal{L}^{\prime}$Und$\mathcal{L}^{\prime\prime}$ist dasselbe.

1. OPs Lagrange (1) ist$^1$

   $$\begin{align}L~=~&\frac{m\dot{x}^2}{2}-\frac{mc^2}{2}, \cr \dot{x}^2~:=~&g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0, \cr \dot{x}^{\mu}~:=~& \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\end{align}\tag{A}$$ (bis zu einer konstanten Laufzeit$-\frac{mc^2}{2}$, was die EL-Eqs nicht ändert . ). Hier$m$ist die Ruhe/invariante Masse . Der Lagrange (A) ist gleich dem folgenden Lagrange $$L~=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e(mc)^2}{2} \tag{B}$$ im Messgerät $$e~=~\frac{1}{m}, \tag{C}$$ vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Hier$e=e(\tau)$ist ein Einbein-Feld, und$\tau$ist ein Weltlinienparameter (nicht unbedingt Eigenzeit).

2. Der Hamilton-Operator, der dem Lagrange-Operator (B) entspricht, ist

   $$\begin{align} H~=~& \frac{e}{2}(p^2+(mc)^2), \cr p^2~:=~&g^{\mu\nu}(x)~ p_{\mu}p_{\nu}~<~0, \cr p_{\mu}~=~& \frac{1}{e}g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}, \end{align}\tag{D}$$ vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. In der Lehre (C) wird der Hamiltonoperator (D). $$\begin{align} H~=~& \frac{1}{2m}(p^2+(mc)^2)~=~\frac{p^2}{2m}+\frac{mc^2}{2}, \cr p_{\mu}~=~& mg_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu},\end{align} \tag{E}$$ was mit der Gl. von OP zusammenhängt. (7) bis zur vorgenannten konstanten Laufzeit$\frac{mc^2}{2}$.

   Für die Hamilton-Formulierung in verschiedenen Eichungen siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

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$^1$Wir verwenden die Minkowski-Vorzeichenkonvention$(−,+,+,+)$.