Warum verwenden die Leute nicht die Hamilton-Gleichungen für ein relativistisches freies Teilchen?

I) Hier nehmen wir an, dass OP von einem relativistischen Punktteilchen mit Nullspin in a spricht$d$-dimensionale Minkowski-Raumzeit mit Metrik$\eta_{\mu\nu}$der Vorzeichenkonvention$(−,+,\ldots,+)$. Auch wir setzen$c=1$der Einfachheit halber.

Beachten Sie, dass das relativistische Punktteilchen eine Weltlinien-Reparametrisierungsinvarianz aufweist, die eine Eichsymmetrie/Redundanz in der Formulierung ist. Wir sind (weitgehend) frei, die Weltlinie des Punktteilchens beliebig zu parametrisieren. Nennen wir den Weltlinienparameter for$\tau$(was nicht die richtige Zeit sein muss). Diese Eichfreiheit kann in einem Einbeinfeld kodiert werden$e=e(\tau)>0$. Der resultierende Hamiltonian Lagrangeian ist$^1$

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - \underbrace{\frac{e}{2}(p^2+m^2)}_{\text{Hamiltonian}}, \tag{1}$$

vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Punkt bedeutet hier Differenzierung bzgl.$\tau$. Das Quadrat des Impulsvektors ist

$$\begin{align} p^2~:=~& \eta^{\mu\nu} p_{\mu} p_{\nu}\cr ~=~&-(p^0)^2+{\bf p}^2\cr ~=~&-2p^+p^- + {\bf p}_{\perp}^2, \end{align}\tag{2}$$ wobei wir im letzten Ausdruck Lichtkegelkoordinaten verwendet haben.

II) Statisches Messgerät$x^0=\tau$. Wenn wir uns integrieren$p^0$Und$e$, erhalten wir das Quadratwurzelmodell von OP

$$\begin{align} \left. L_H\right|_{x^0=\tau} \quad\stackrel{p^0}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x}- \underbrace{\left(\frac{1}{2e} + \frac{e}{2}({\bf p}^2+m^2)\right)}_{\text{Hamiltonian}}\cr\cr \quad\stackrel{e}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{3}$$

Für ausreichend kurz$^2$mal$\Delta \tau=\tau_f-\tau_i$, wird das Pfadintegral$^3$

$$\begin{align}& \langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr ~=~&i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} \int_{\mathbb{R}^d} \!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi\hbar)^d} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( p_{\mu} \Delta x^{\mu} -\underbrace{\frac{e}{2}(p^2+m^2)}_{\text{Hamiltonian}}\Delta\tau\right)\right]\cr ~=~& \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \!\frac{\mathrm{d}^{d-1}{\bf p}}{(2\pi\hbar)^{d-1}} i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} ~\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar ie\Delta\tau}}}_{\text{Gauss. } p^0\text{-int.}} \cr &\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} -\underbrace{\left( \frac{1}{2e} + \frac{e}{2}({\bf p}^2+m^2)\right)}_{\text{Hamiltonian}}\Delta\tau\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \int_{\mathbb{R}^{d-1}} \!\frac{\mathrm{d}^{d-1}{\bf p}}{(2\pi\hbar)^{d-1}} \frac{\hbar}{2\sqrt{{\bf p}^2+m^2}} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right]\cr ~=~&i\hbar\Delta\tau\int_{\mathbb{R_+}} \!\frac{\mathrm{d}e}{2} ~\underbrace{\frac{1}{(2\pi\hbar ie\Delta\tau)^{d/2}}}_{\text{Gauss. } p\text{-int.}} \exp\left[\frac{i}{2\hbar}\left( \frac{(\Delta x)^2}{e\Delta\tau} - m^2e\Delta\tau\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~&\frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\Big(\frac{m/\hbar}{ \sqrt{(\Delta x)^2}}\Big)^{\frac{d}{2}-1}K_{\frac{d}{2}-1}\Big(\frac{m}{\hbar}\sqrt{(\Delta x)^2}\Big) ,\end{align} \tag{4}$$ was zufällig auch der Standard- Skalarpropagator ist $\langle\Omega|T[\phi (x_f)\phi (x_i)]|\Omega\rangle$in QFT/ 2. Quantisierung , vgl. zB Ref.-Nr. 1-3. Aus einer 2. quantisierten Perspektive wird die$e$-Integration in Gl. (4) ist eine Schwinger-Parametrisierung des Fourier-transformierten Propagators $$\frac{i}{\hbar}\langle\Omega|T[\widetilde{\phi} (p_f)\widetilde{\phi} (p_i)]|\Omega\rangle~=~\frac{\hbar^2}{p_f^2+m^2-i\epsilon}(2\pi\hbar)^d\delta^d(p_f\!+\!p_i). \tag{5}$$ Bekanntlich ist Gl. (4) ist Lorentz-kovariant und fällt außerhalb des Lichtkegels exponentiell ab. In Gl. (4) Wir haben die Integrale verwendet $$\begin{align} \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{e^{1+\nu}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&2\left(\frac{a}{b}\right)^{\nu/2} K_{\nu}\left(2\sqrt{ab}\right),\cr \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{e^{1-\nu}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&2\left(\frac{b}{a}\right)^{\nu/2} K_{\nu}\left(2\sqrt{ab}\right),\cr \int_{\mathbb{R}_+} \!\frac{\mathrm{d}e}{\sqrt{e}}\exp\left[-ae-\frac{b}{e}\right] ~=~&\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-2\sqrt{ab}\right],\cr {\rm Re}(a), {\rm Re}(b)~>~&0.\end{align}\tag{6}$$

III) Lichtkegellehre $x^+=\tau$. Wenn wir uns integrieren$p^-$Und$e$, wir bekommen

$$\begin{align} \left. L_H\right|_{x^+=\tau} \quad\stackrel{p^-,~e}{\longrightarrow}\quad & -p^+\cdot \dot{x}^- +{\bf p}_{\perp}\cdot \dot{\bf x}_{\perp}\cr & - \underbrace{\frac{{\bf p}_{\perp}^2+m^2}{2p^+}}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{7}$$

IV) Wir betonen, dass die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für jede der Hamiltonschen Lagrange-Funktionalitäten (1), (3) und (7) zu den Hamilton-Gleichungen führen. Der Punkt ist nun, dass physikalische Größen nicht von der Wahl der Messgerätebefestigung abhängen sollten. Es steht uns frei, die bequemste Messgerätewahl zu verwenden. Jede Formulierung (1), (3) und (7) ist gültig und hat ihre Vor- und Nachteile. Die Wahl des statischen Messgeräts (3) ist wegen der Quadratwurzel ungünstig.

Verweise:

1. ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; Gl. (2,50).

2. MD Schwartz, QFT und das Standardmodell; Gl. (6.25).

3. O. Corradini & C. Schubert, Spinning Particles in QM & QFT, arXiv:1512.08694 ; Unterabschnitt 1.5.1, Gl. (1.160-162)

4. T. Padmanabhan, QFT: Das Warum, Was und Wie, 2016; Unterabschnitte 1.3.1 + 1.4.4.

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$^1$Genau genommen gibt es auch Faddeev-Popov-Geisterterme und Eichfestlegungsterme, die wir der Einfachheit halber außer Acht gelassen haben. Diese Aktionsterme werden in der BFV-Formulierung konsequent generiert, vgl. zB mein Phys.SE Post hier . Der Normierungsfaktor in Gl. (4) lässt sich über die Gaußsche Integration in der BFV-Formulierung über die 2 bosonischen Variablen ableiten$x^0$,$B$; und die 4 fermionischen Variablen$\bar{C}$,$P$,$C$,$\bar{P}$.

$^2$Hier betrachten wir der Einfachheit halber nur eine einzelne Zeitscheibe. Das Vollpfadintegral ist die Kontinuumsgrenze mehrerer Zeitscheibendiskretisierungen mit Einfügung entsprechender Vollständigkeitsrelationen. Es zeigt sich, dass das Ergebnis (4) für die freie Theorie nicht von der Anzahl der Zeitscheibendiskretisierungen abhängt.

$^3$Hier verwenden wir den Feynman$i\epsilon$-Verschreibung${\rm Re}(i\Delta\tau)>0$. Die Gaußsche Integration ist vorbei$p^0_E=i p^0_M$wird nach einer Dochtdrehung gedämpft $\tau_E=i\tau_M$,$x^0_E=ix^0_M$zur euklidischen Signatur.

Nicht wirklich. Wir KÖNNTEN Hamilton als Quadratwurzel schreiben - wenn wir wissen, was eine Quadratwurzel eines Operators ist. Natürlich haben wir eine einfache Näherung:

$$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}{8}+O(x^3)$$

Damit könnten wir Ihren Hamiltonian schreiben als:

$$\mathcal H=mc^2\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2c^2}}=mc^2+\frac{p^2}{2m}+O(p^4).$$

Das Problem ist, dass diese Form des Hamiltonian uns einen superluminalen Partikeltransport ermöglicht – die Entwicklung von Partikeln mit diesem Hamiltonian gibt in großen Entfernungen eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null – sehr problematisch für Hamiltonian, der aus der relativistischen Theorie gewachsen ist.

Die Antwort ist, eine andere Lösung zu finden, die uns, nachdem wir quadratisch geworden sind, den Hamiltonian vorher gibt. So leiten Sie die Dirac-Gleichung ab - Sie nehmen einige Matrizen in Gleichungen an und hoffen, dass Sie eine Lösung erhalten können:

$$\mathcal H_D=\alpha^ip_ic+\beta mc^2$$ $$\mathcal H_D^2=p^2c^2+m^2c^4$$

Die folgenden Verfahren sind Grundlagen jedes relativistischen Quantentheorieskripts, zum Beispiel: http://inspirehep.net/record/459479/files/Forshaw.pdf , Seite 9.