Pendeln räumliche Ableitungen in der Hamiltonschen Feldtheorie mit Poisson-Klammern?

Ich gehe einige meiner alten Notizen für ein aktuelles Projekt durch und versuche herauszufinden, ob ich einen Fehler gemacht habe oder ob ich einmal etwas gewusst habe, das ich jetzt vergessen habe.

Betrachten Sie eine lokale Feldtheorie, die eine Reihe von Feldern enthält$\phi^{(a)}$, für die die Lagrange-Dichte gilt

$$\mathcal{L}(\phi^{(a)}, \dot{\phi}^{(a)}, \partial_i \phi^{(a)} ).$$ Hier, $\partial_i$steht nur für räumliche Ableitungen, dh wir haben bereits eine Zerlegung in eine bevorzugte Schieferung der Raumzeit vorgenommen (falls erforderlich). Wir können einen Satz konjugierter Feldimpulse über die übliche Beziehung definieren: $$\pi^{(a)} \equiv \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \dot{\phi}^{(a)} }.$$ Die Hamiltonsche Dichte wird dann sein $$\mathcal{H} = \sum_a \pi^{(a)}\dot{\phi}^{(a)} - \mathcal{L}.$$ Wir können dann eine Poisson-Klammer für Feldgrößen der Form definieren $$\{ f, g \} \equiv \sum_a \left[ \frac{ \delta f}{\delta \phi^{(a)}} \frac{ \delta g}{\delta \pi^{(a)}} - \frac{ \delta g}{\delta \phi^{(a)}} \frac{ \delta f}{\delta \pi^{(a)}}\right],$$ Wo $f$Und $g$sind im Prinzip zwei beliebige Größen, die von den Feldern und den Impulsen abhängen.

Hier sind meine Fragen:

1. Ist es unter diesen Definitionen immer so, dass $$\{ \partial_i f, g \} \overset{?}{=} \partial_i \{f, g\}$$ für zwei beliebige Mengen$f$Und$g$?
2. Ist es unter diesen Definitionen immer so, dass $$\{ \partial_i f, \mathcal{H} \} \overset{?}{=} \partial_i \{f, \mathcal{H} \}$$ für jede Menge$f$?