Fermionische Poisson-Klammer

Question

Fermionische Poisson-Klammer

Physik
Fermionen
Poisson-Klammern
eingeschränkte Dynamik
Hamiltonscher Formalismus
Klassische-Feld-Theorie

SCFT

Ich möchte die Poisson-Klammer für Fermionen in der klassischen Feldtheorie verstehen, die auf einem Zylinder definiert ist (mit Koordinaten $(t,x)$ , $x$ die kompakte Richtung ist) und sich fortpflanzt $T^n$ mit konstanter Metrik $G_{ij}$ (obwohl $T^n$ ist wahrscheinlich nicht wichtig für die Diskussion hier).

Die Aktion ist

S = \frac{ich}{4 π} \int D T D X G_{ich J} [ψ^{ich} (\partial_{T} + \partial_{X}) ψ^{J} + {\bar{ψ}}^{ich} (\partial_{T} - \partial_{X}) {\bar{ψ}}^{J}] .

$S = \frac{i}{4\pi}\int dt dx \,\,G_{ij} \left[ \psi^i(\partial_t + \partial_x)\psi^j + \bar{\psi}^i(\partial_t - \partial_x)\bar{\psi}^j\right] .$

Wie kann ich daraus eine allgemeine Definition der Poisson-Klammer geben? Einige Einschränkungen sollten die folgenden sein:

Es sollte symmetrisch sein (da es im bosonischen Fall antisymmetrisch ist).
Ich sollte in der Lage sein, die Standardbeziehung wiederherzustellen
${ψ^{ich} (T, X), ψ^{J} (T, X^{'})}_{P B} = - 2 π ich G^{ich J} δ (X - X^{'})$ $\{\psi^i(t,x), \psi^j(t,x') \}_{PB} = -2\pi i G^{ij}\, \delta(x-x')$ davon.

Eine Definition, die zu funktionieren scheint, ist

{F, G} = - 2 π ich \int D X G^{ich J} (\frac{δ F}{δ ψ^{ich}} \frac{δ G}{δ ψ^{J}} + \frac{δ F}{δ {\bar{ψ}}^{ich}} \frac{δ G}{δ {\bar{ψ}}^{J}})

$\{F,G\} = -2\pi i \int dx\,\, G^{ij}\Big(\frac{\delta F }{\delta \psi^i } \frac{\delta G}{\delta \psi^j} + \frac{\delta F }{\delta \bar{\psi}^i } \frac{\delta G}{\delta \bar{\psi}^j}\Big)$

Wenn dies jedoch richtig ist, würde ich gerne aus allgemeineren Gründen sehen, warum.

Auch eine bestimmte Poisson-Klammer, an der ich interessiert bin, ist $\{(\partial_t - \partial_{x_1})\psi^i(x_1), \psi^j(x_2)\}$ was ich aus der obigen Definition bekomme $2\pi i \frac{\partial}{\partial x_1} \delta(x_1 - x_2)$ . Ist das sinnvoll?

Bearbeiten: Als Referenz schaue ich mir Anhang A im folgenden Artikel von Kapustin und Orlov an:

http://arxiv.org/abs/hep-th/0010293

und der Versuch, die Poisson-Klammern in Gl. (48).

Antworten (1)

Fermionische Poisson-Klammer

QMechaniker · Answer 1

Die Super-Poisson-Klammer folgt aus einer Superversion des Dirac-Bergmann- oder des Faddeev-Jackiw-Verfahrens. Beim Umgang mit ungeraden Grassmann-Variablen muss sorgfältig darauf geachtet werden, konsistente Vorzeichenkonventionen zu erreichen, siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Die singuläre Legendre-Transformation für Fermionen wird auch in meiner Phys.SE-Antwort hier besprochen . Im Fall von OP [das ist der fermionische Teil von Gl. (44) in Lit. 1] lautet die Lagrange-Dichte

\begin{matrix} (1) & L = \frac{ich}{4 π} G_{ich J} [ψ^{ich} {\dot{ψ}}^{J} + {\bar{ψ}}^{ich} {\dot{\bar{ψ}}}^{J}] - H, \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \dot{\psi}^j + \bar{\psi}^i \dot{\bar{\psi}}^j\right]-{\cal H},$

wo wir die Hamiltonsche Dichte identifiziert haben

\begin{matrix} (2) & H = \frac{ich}{4 π} G_{ich J} [ψ^{ich} \partial_{X} ψ^{J} - {\bar{ψ}}^{ich} \partial_{X} {\bar{ψ}}^{J}] . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal H}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \partial_x\psi^j - \bar{\psi}^i \partial_x\bar{\psi}^j\right].$

Das symplektische Einformpotential kann aus dem kinetischen Term in (1) transkribiert werden:

\begin{matrix} (3) & ϑ (T) = \frac{ich}{4 π} \int D X G_{ich J} [ψ^{ich} (X, T) D ψ^{J} (X, T) + {\bar{ψ}}^{ich} (X, T) D {\bar{ψ}}^{J} (X, T)], \end{matrix}

$\tag{3} \vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \psi^i(x,t)~\mathrm{d}\psi^j(x,t) + \bar{\psi}^i(x,t) ~\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right],$

Wo $\mathrm{d}$ bezeichnet die äußere Ableitung in unendlich vielen Dimensionen. Die symplektische Zweierform ist dann

ω (T) = D ϑ (T) = \frac{ich}{4 π} \int D X G_{ich J} [D ψ^{ich} (X, T) \land D ψ^{J} (X, T) + D {\bar{ψ}}^{ich} (X, T) \land D {\bar{ψ}}^{J} (X, T)]

$\omega(t)~=~\mathrm{d}\vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t) +\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t) \wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right]$

\begin{matrix} (4) & = \frac{ich}{4 π} \int D X D j G_{ich J} δ (X - j) [D ψ^{ich} (X, T) \land D ψ^{J} (X, T) + D {\bar{ψ}}^{ich} (X, T) \land D {\bar{ψ}}^{J} (X, T)] . \end{matrix}

$\tag{4} ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~dy~ G_{ij}~ \delta(x-y) \left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t)+\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right].\qquad$

Die zeitgleiche Super-Poisson /Dirac-Klammer auf Fundamentalfeldern ist die inverse Supermatrix der Supermatrix für die symplektische Zweierform (4):

\begin{matrix} (5) & {ψ^{ich} (X, T), ψ^{J} (j, T)}_{P B} = \frac{2 π}{ich} (G^{- 1})^{ich J} δ (X - j) = {{\bar{ψ}}^{ich} (X, T), {\bar{ψ}}^{J} (j, T)}_{P B}, \end{matrix}

$\tag{5} \{\psi^i(x,t), \psi^j(y,t)\}_{PB}~=~ \frac{2\pi}{i}(G^{-1})^{ij} ~\delta(x-y)~=~\{\bar{\psi}^i(x,t), \bar{\psi}^j(y,t)\}_{PB},$

und andere grundlegende Super-Poisson-Klammern verschwinden. Die zeitgleiche Super-Poisson-Klammer lautete

\begin{matrix} (6) & {F (T), G (T)} = \frac{2 π}{ich} \int D X (G^{- 1})^{ich J} [\frac{δ_{R} F (T)}{δ ψ^{ich} (X, T)} \frac{δ_{L} G (T)}{δ ψ^{J} (X, T)} + \frac{δ_{R} F (T)}{δ {\bar{ψ}}^{ich} (X, T)} \frac{δ_{L} G (T)}{δ {\bar{ψ}}^{J} (X, T)}] \end{matrix}

$\tag{6}\{F(t),G(t)\} ~=~ \frac{2\pi}{i}\int \! dx (G^{-1})^{ij}\left[\frac{\delta_R F(t)}{\delta \psi^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \psi^j(x,t)}+\frac{\delta_R F(t)}{\delta \bar{\psi}^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \bar{\psi}^j(x,t)} \right]\qquad$

für beliebige zeitgleiche Funktionale $F(t)$ Und $G(t)$ . Hier die Indizes $L$ Und $R$ beziehen sich auf die Differenzierung von links bzw. rechts.

Verweise:

A. Kapustin und D. Orlov, arXiv:hep-th/0010293 .

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