Hamilton-Formalismus für Dirac-Spinoren

Die Hamiltonsche Dichte für jedes klassische Feld ist gegeben durch:

$$\begin{equation} \mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} \end{equation}$$ Wo $\pi$ist die kanonische Impulsdichte: $$\begin{equation} \pi(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\mathbf{x},t)} \end{equation}$$ In der klassischen Punktteilchenmechanik die Poisson-Klammern für zwei Funktionen $f$Und $g$sind definiert als: $$\begin{equation} \left\{f,g\right\}_{PB} = \frac{ \partial f}{\partial q_j} \frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{\partial f}{\partial p_j} \frac{\partial g}{\partial q_j} \end{equation}$$ Wo $q_j$sind die verallgemeinerten Koordinaten und $p_j$sind die kanonischen Impulse. Deutlich: $$\begin{equation} \left\{q,p\right\}_{PB} = 1 \tag{1} \end{equation}$$ In der Feldtheorie die Poisson-Klammer für zwei Funktionale $f$Und $g$zu gleichen Zeiten ist definiert als: $$\begin{equation} \left\{f(t),g(t)\right\}_{PB} = \int \mathrm{d}^3 \mathbf{x} \; \left(\frac{\delta f}{\delta \phi(\mathbf{x},t)} \frac{\delta g}{\delta \pi(\mathbf{x},t)} - \frac{\delta f}{\delta \pi(\mathbf{x},t)} \frac{\delta g}{\delta \phi(\mathbf{x},t)} \right) \end{equation}$$ Nun, unter Verwendung der Regeln der funktionalen Differenzierung, ist es leicht zu sehen, dass: $$\begin{equation} \left\{\phi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\right\}_{PB} = \delta^3(x-y) \end{equation}$$ das ist die klassische Feldversion der Gleichung $(1)$.

Darüber hinaus können wir gemäß Diracs Quantisierungsregel über das folgende Rezept zwischen der klassischen Punktteilchenmechanik und der Quantenmechanik hin und her gehen:

$$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \text{classical mechanics} & \leftrightarrow & \text{quantum mechanics} \\ \displaystyle \left\{A,B\right\}_{PB} & \leftrightarrow & \displaystyle \frac{1}{i\hbar}\left[A,B \right] \end{array} \end{equation}$$ vorausgesetzt, die Größen, die wir betrachten, existieren in der klassischen Welt (zum Beispiel hat der quantenmechanische Spin kein klassisches Äquivalent und daher funktioniert die Regel nicht). Um zwischen der klassischen Feldtheorie und der operationalen Formulierung der Quantenfeldtheorie hin und her zu gehen, verwenden wir die Regel: $$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \text{classical field theory} & \leftrightarrow & \text{quantum field theory} \\ \displaystyle \left\{A,B\right\}_{PB} & \leftrightarrow & \displaystyle \frac{1}{i\hbar}\left[A,B \right]_\mp \end{array} \end{equation}$$ wo der Index $-$bedeutet den normalen Kommutator und ist relevant für bosonische Felder, und die $+$Der Index impliziert den Antikommutator, der für fermionische Felder (wie das Dirac-Feld) relevant ist.

Der klassische Lagrange für das freie Elektronenfeld ist

$$L=\int d^{3}x(i\psi^{\dagger}\frac{\partial \psi}{\partial t}+i\psi^{\dagger}\alpha_{r}\frac{\partial \psi}{\partial x^{r}}-m\psi^{\dagger}\beta \psi) \ .$$ Die q sind $q^{i}(t)\rightarrow q^{(a,x)}\rightarrow \psi^{a}(t,x)$und so sind die Geschwindigkeiten $\dot{q}^{i}(t)\rightarrow \frac{\partial \psi^{a}(t,x)}{\partial t}$. Variieren der Geschwindigkeiten, $$\delta L= \int d^{3}x i\psi^{\dagger}\delta(\frac{\partial \psi}{\partial t})$$ zeigt, dass die konjugierten Impulse - die $p_{i}(t)$- Sind $i\psi^{\dagger}$. Der klassische Hamiltonoperator ist $$H=\int d^{3}x(-i\psi^{\dagger}\alpha_{r}\frac{\partial \psi}{\partial x^{r}}+m\psi^{\dagger}\beta\psi)$$ Die PBs entsprechen $[q^{i},p_{j}]_{PB}=\delta^{i}_{j}$Sind, $$[\psi^{a}(t,x),i\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{PB}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ Die Anwendung von Diracs Quantisierungsregel auf das obige PB ergibt den Kommutator, $$[\psi^{a}(t,x),\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{-}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ und das $\psi$sind jetzt Operatoren. Wenn man jedoch den klassischen Hamilton-Operator mit diesem Kommutator quantisiert, gibt es keinen Grundzustand, aber man kann den klassischen Hamilton-Operator mit dem Antikommutator quantisieren, $$[\psi^{a}(t,x),\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{+}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ Es scheint, dass die Quantendynamik des Elektronenfelds immer noch mit Kommutatoren zusammenhängt. In der klassischen Theorie $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=[\psi,H]_{PB}$$ und die Anwendung von Diracs Quantisierungsregel ergibt, $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=[\psi,H]_{-}$$ Wo $\psi$Und $H$sind Operatoren. Alles sieht konsistent aus, weil das Aufschreiben des Quanten-EoM direkt aus dem Quanten-Hamilton-Operator (mit dem Antikommutator quantisiert) $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=-i[\psi,H]_{-}$$ zeigt, dass die letzten beiden Gleichungen identisch sind. Notiere dass der $H$in der letzten Gleichung ist der quantisierte Hamilton-Operator, der vom klassischen Hamilton-Operator durch die Verwendung des Antikommutators geändert wurde, während das H in der vorletzten Gleichung der klassische Hamilton-Operator ist, bei dem alle Felder einfach zu Operatoren hochgestuft wurden. Dies ist mein Verständnis des Begriffs des klassischen Elektronenfelds, das aus der Lektüre von Abschnitt 11 von Diracs „Lectures on Quantum Field Theory“ stammt.