Über Zwangsbedingungen erster Klasse und Elektrodynamik

Betrachten Sie eine Theorie im Hamilton-Formalismus und nehmen Sie an, dass sie Einschränkungen zwischen kanonischen Variablen hat Q , π . In der Dirac-Terminologie der Satz von Einschränkungen F A ( Q , π ) ≈ 0 der ersten Klasse erfüllt die Bedingungen { F A , F B } P ≈ 0 , während der Satz von Einschränkungen der zweiten Klasse Poisson-Klammern ungleich Null hat.

Lassen Sie uns massive und masselose bosonische Feldfälle mit Lagrangianern haben

L = − 1 4 F μ v F μ v − λ M 2 A 2 , λ E M = 0 , λ M A S S ich v e = 1.
Für den ersten Fall haben wir die Menge der Einschränkungen der zweiten Klasse (die zweite ist eine gefälschte Bewegungsgleichung für A 0 Komponente)
π 0 = ∂ L ∂ ( ∂ 0 A 0 ) ≈ 0 , F ( A 0 , π ich , J 0 ) = − Δ A 0 − ∂ ich π ich + M 2 A 0 ≈ 0 , { π 0 ( X ) , F B ( j ) } P = − M 2 δ ( X − j ) ,
während wir für den zweiten erstklassige Einschränkungen haben:
π 0 = ∂ L ∂ ( ∂ 0 A 0 ) ≈ 0 , F ( A 0 , π ich , J 0 ) = − Δ A 0 − ∂ ich π ich ≈ 0 , { π 0 ( X ) , F B ( j ) } P ≈ 0.
Warum wir im ersten Fall nach der Einführung der Dirac-Klammer die Gleichheit der Beschränkungen auf Null strikt machen können (dh wir können ausdrücken A 0 als definitive Funktion von kanonischen Impulsen und Strom), während im zweiten Fall die Unmöglichkeit der Einführung der Dirac-Klammern zur Unmöglichkeit des Ausdrucks von führt A 0 durch andere kanonische Koordinaten? Dh wie sich die Möglichkeit des Einbringens der Dirac-Klammern ändert ≈ Zu = ?

Kommentar zu Frage (v2): Erwägen Sie die Bereitstellung von Referenzen/weiteren Details für ≈ Zu = Stellungnahme.

Antworten (3)

Kommentar zur Frage (v2):

Laut Ref. 1, das schwache Gleichheitszeichen ≈ bedeutet normalerweise Gleichheit modulo aller Einschränkungen:

  • primär , sekundär, tertiär, … , Einschränkungen.

  • (oder in Diracs Klassifikation) Beschränkungen erster und zweiter Klasse.

Verweise:

  1. M. Henneaux und C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994; P. 13.
Ja, du hast Recht. Den zweiten Satz habe ich gelöscht.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig antworte, aber wenn ich mich erinnere, können Sie mit der Dirac-Klammer die Einschränkungen der zweiten Klasse beseitigen und sich am Ende nur mit Einschränkungen der ersten Klasse befassen. Und am Ende betrachten Sie immer noch nur schwache Gleichheit, kein =.

Hallo Tom, das wäre ein guter Kommentar. Als Antwort ist es ziemlich unvollständig.
Nein, tut es nicht. Wir eliminieren die Zwangsbedingungen der zweiten Klasse, indem wir die Dirac-Klammern für die Bewegungsgleichung einführen, und können danach die Zwangsbedingungen der sekundären Klasse stark auf Null setzen. Danach können wir die Anzahl der Freiheitsgrade reduzieren.

Die schwache Gleichheit F ≈ 0 bedeutet, dass wir zuerst alle Poisson-Klammern der Theorie (die Bewegungsgleichungen etc.) auswerten müssen und erst danach dürfen wir setzen F bis Null. Das liegt daran, dass der Hamiltonian keine Informationen über primäre Einschränkungen enthält (das gute Beispiel ist die Elektrodynamik) und daher keine Informationen über die sekundären Einschränkungen enthält.

Vielleicht habe ich die Antwort auf die Frage verstanden. Wir können die schwache Gleichheit durch die starke ersetzen, wenn alle dynamischen Klammern (Poisson-Klammer am Anfang) der Bedingung mit irgendeiner (!) anderen Funktion gleich Null sind. Wie es zeigen kann, wenn wir Hamiltonian ersetzen H 0 (die nicht aus Informationen über primäre Einschränkungen bestehen F ich ) zum H = H 0 + λ A F A ≈ H 0 , dann haben wir die Dirac-Klammer für die Zeitentwicklung jeder Funktion. Die Dirac-Klammer aller Constraints der zweiten Art mit einer beliebigen Funktion ist gleich Null, wenn wir also diese Klammer einführen können, können wir alle Constraints der zweiten Klasse auf Null setzen. Wenn es aber Restbedingungen der ersten Klasse gibt, sollten wir unsere Theorie als Eichtheorie analysieren, weil die Bedingungen der ersten Klasse immer mit Invarianz unter einigen Transformationen verbunden sind. Es kann unsere Freiheitsgrade einschränken.

Über Zwangsbedingungen erster Klasse und Elektrodynamik
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