Einschränkungen erster und zweiter Klasse

(1) Sie haben eine Reihe irreduzibler Einschränkungen,$\lbrace \phi_j\rbrace$, sowohl primär als auch sekundär Dieser Satz von Beschränkungen definiert eine Untermannigfaltigkeit$M$innerhalb des "vollen" (unbeschränkten) Phasenraums.

(2) Eine Funktion im Phasenraum wird auf schwach null gesetzt , wenn sie verschwindet, wenn sie auf die beschränkte Untermannigfaltigkeit beschränkt wird$M$. Eine Funktion heißt stark null , wenn ihre Ableitungen bezüglich der unbeschränkten Phasenraumkoordinaten schwach null sind. Per Definition sind die Einschränkungen schwach null,$\phi_j \approx 0$, aber nicht unbedingt stark Null.

(3) Eine Funktion$F$definiert auf dem vollen Phasenraum heißt eine erstklassige Funktion , wenn ihre Poisson-Klammern mit allen Nebenbedingungen schwach verschwinden . So$F$ist erstklassig, wenn

für alle Einschränkungen$\phi_j$. Eine Funktion heißt zweitklassig, wenn sie nicht erstklassig ist, dh wenn sie eine oder mehrere nicht schwach verschwindende Poisson-Klammern mit den Nebenbedingungen hat.

(3') Zur Erinnerung: Die Ableitungen in der Poisson-Klammer werden im vollen Phasenraum berechnet, dh die Impulse und Koordinaten$(p,q)$werden als unabhängig behandelt, sodass Sie die Derivate berechnen können$\delta F/\delta q$Und$\delta F / \delta p$. Dann wenden Sie nach dieser Differentiation die Beschränkungsgleichungen an, um zu sehen, ob die Poisson-Klammer schwach verschwindet.

(4) Dann endlich: Eine Nebenbedingung ist erster oder zweiter Klasse, wenn alle ihre Poisson-Klammer mit den verbleibenden Nebenbedingungen schwach verschwinden.

(5) Beschränkungen zweiter Klasse sind nicht zu schwierig zu handhaben (dh wenn das System quantisiert wird). Erstklassige Einschränkungen bilden ein viel größeres Hindernis. Sie sind die Erzeuger von Eichtransformationen.

Ich kann das Buch von Hennaux und Teitelboim sehr empfehlen.

Der erste Schritt ist die Vervollständigung der gesamten Beschränkungsliste (primär, sekundär, ternär usw.) und das Prüfen, dass keine sekundäre Beschränkung zu einem Widerspruch führt (dh leere Beschränkungsoberfläche).

Anmerkung: Die zeitliche Entwicklung der Nebenbedingungen erfolgt mit dem "totalen" Hamiltonoperator:

$H_T(p,q) = p\dot{q}-L+\sum_{\alpha}\lambda_{\alpha} \phi^{(1)}_{\alpha}$

Wo$\phi^{(1)}_{\alpha}$sind die primären Einschränkungen und$\lambda_{\alpha}$sind Lagrange-Multiplikatoren.

Der nächste Schritt ist die Berechnung der Poisson-Klammer-Matrix aller Nebenbedingungen:

$P_{\alpha\beta} = \{\phi_{\alpha}, \phi_{\beta}\}|_{\Sigma}$

(für alle Einschränkungen$\phi_1, ., ., ., \phi_n$).$\Sigma$ist die Zwangsfläche.

Die Anzahl der First-Class-Constraints ist gleich dem Corank der Matrix$P$:$n-\mathrm{rank}(P)$.

In der folgenden Antwort werde ich nicht auf die Beziehung zwischen dem Lagrange- und dem Hamilton-Formalismus für den Fall eingeschränkter Systeme eingehen, sondern mich einfach auf die Bedeutung von Einschränkungen (so wie ich sie verstehe) im Hamilton-Formalismus beschränken: -

Angenommen, Sie erhalten einen Phasenraum$P$mit Variablen$(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)$. Normalerweise handelt es sich um "uneingeschränkte Systeme". Das heißt, Sie erhalten nur einen Hamilton-Operator$H$; und alle Lösungen von Bewegungsgleichungen sind erlaubt. Das heißt, es gibt keine Einschränkung der Dynamik.

Für ein eingeschränktes System außer dem Hamilton-Operator$H$Sie haben auch eine Reihe von Beschränkungsgleichungen:

$\tag{1}\phi_k(q_1,..,q_n;p_1,..,p_n)=0,\quad k=1,...,m.$

zusammen mit den Bedingungen

$\{\phi_i,H\} =0\quad\mbox{on the surface of constraints for all $i=1,...,m$}\tag{2}$

Was es bedeutet, dass Sie sich jetzt auf die Dynamik auf der Oberfläche (dh Untermannigfaltigkeit) im durch (1) definierten Phasenraum beschränken müssen. Die Bedingungen (2) stellen sicher, dass die Einschränkungen mit der Dynamik übereinstimmen, dh wenn Sie von einem Punkt aus beginnen$(q_{i0},p_{i0})$auf der Oberfläche der Beschränkung, dann würde auch ihre zeitliche Entwicklung an der Oberfläche liegen.

Nun (soweit ich es verstehe) besteht die Idee darin, zwischen den Einschränkungen zu unterscheiden, die kein großes Problem darstellen und beseitigt werden können (sogenannte Einschränkungen zweiter Klasse), im Vergleich zu denen, die etwas schwieriger zu handhaben sind (Einschränkungen erster Klasse). . Das Verfahren, um sie zu definieren, ist wie folgt:

Maximale Teilmenge finden {$\phi_1,...,\phi_k$} des Satzes {$\phi_1,...,\phi_n$} von Einschränkungsfunktionen, so dass die Poisson-Klammer jeder Funktion in {$\phi_1,...,\phi_k$} mit einer Funktion in {$\phi_1,...,\phi_n$} ist eine Linearkombination (mit Koeffizienten beliebiger Funktionen von$p_i,q_i$) von Funktionen$\phi_1,...,\phi_n$. Einschränkungen entsprechend {$\phi_1,...,\phi_k$} werden erstklassige Einschränkungen genannt, während diejenigen, die {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} werden Einschränkungen zweiter Klasse genannt.

Dirac hat gezeigt, dass die Oberfläche der Beschränkung durch Beschränkungen zweiter Klasse definiert ist {$\phi_{k+1},...,\phi_n$} ist eine symplektische Untermannigfaltigkeit$M$des Phasenraums$P$. Was es bedeutet ist, dass (mit Ausnahme der Dimension) lokal$M$würde genau wie Phasenraum aussehen$P$(wenn Sie die richtigen Koordinaten wählen) und so kann die Dynamik darauf wie im üblichen Phasenraum ohne Einschränkungen untersucht werden.

Man kann also Beschränkungen zweiter Klasse einfach eliminieren, indem man auf beschränkt$M$als neuer Phasenraum und der Rest der Funktionen {$\phi_1,...,\phi_k$} (beschränkt auf$M$) als neue Einschränkungen.

Wenn eine Einschränkung mit allen anderen Einschränkungen in der Poisson-Klammer verschwindet, ist sie erstklassig, andernfalls zweitklassig.