Ein verwirrender Punkt des Hamilton-Operators für ein Teilchen, das mit elektromagnetischen Feldern wechselwirkt

I) Der Hamilton-Operator für Punktladungen und EM-Felder kann sicherlich die EOMs der Teilchen sowie die EM-Felder erzeugen.

Eine vollständige Erklärung ist eine ziemlich lange Geschichte. Aus pädagogischen Gründen ist es am besten, um zu sehen, wie dies funktioniert:

1. Verstehen Sie zunächst die entsprechende Lagrange-Formulierung.

2. Zweitens, verstehen Sie, wie die Hamiltonschen Formulierungen für Punktladungen und EM-Felder separat funktionieren, siehe zB this & this Phys.SE posts.

3. Versuchen Sie drittens, eine Hamilton-Formel für Punktladungen und EM-Felder zusammen zu konstruieren.

II) Eine Korrektur: Der Hamilton-Operator (1) von OP liefert die korrekte Gesamtenergie, aber OP fragt, wie die Maxwell-Gleichungen zu erstellen sind. Für den letzteren Zweck fehlt dem Hamiltonian (1) von OP ein Lagrange-Multiplikatorterm, der das Gaußsche Gesetz auferlegt.

III) Konkret ist der minimale Phasenraum wie folgt:

1. Partikelposition${\bf r}(t)$und Teilchenimpuls${\bf p}(t)$:

   $$\{r^k(t), p_{\ell}(t)\}= \delta_{\ell}^k.$$

2. (Minus$^1$) das elektrische Feld${\bf E}(x)$ist die kanonisch konjugierte Variable zum magnetischen Eichpotential${\bf A}(x)$:

   $$\{A_i({\bf x},t), E^j({\bf x}^{\prime},t)\}~=~ -\delta_i^j~\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf x}^{\prime}).$$

3. Lagrange-Multiplikator$A^0(x)\equiv \phi(x)$.

IV) Die Gleichungen ergeben sich wie folgt:

1. Das Magnetfeld${\bf B}\equiv{\bf \nabla}\times {\bf A}$ist definiert als die Kräuselung des magnetischen Eichpotentials${\bf A}$.

2. Die Hamilton-Gleichungen für${\bf r}$Und${\bf p}$ergeben (i) das 2. Newtonsche Gesetz mit einer Lorentz-Kraft und (ii) die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit$\dot{\bf r}$und Schwung${\bf p}$.

3. Die Hamilton-Gleichungen für${\bf A}$Und${\bf E}$ergeben (i) das Maxwell-Ampere-Gesetz und (ii) die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld${\bf E}$und das Eichpotential$A_{\mu}$.

4. Der Lagrange-Multiplikator$A^0\equiv\phi$erlegt das Gaußsche Gesetz auf.

5. Die quellenfreien Maxwell-Gleichungen folgen aus der Existenz des Eichpotentials$A_{\mu}$.

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$^1$Wir gebrauchen$(-,+,+,+)$Minkowski unterzeichnet Konvention mit$c=1$.

Normalerweise muss der EMF-Hamiltonoperator in Bezug auf geschrieben werden$Q$s und$P$s des elektromagnetischen Feldes, was durch Darstellung über harmonische Oszillatoren erfolgt. In vielen Lehrbüchern finden Sie möglicherweise eine Zerlegung von EMF in einen Satz harmonischer Oszillatoren.

Entfernen Sie den zweiten Term im Hamiltonian vollständig. Betrachten Sie im ersten Term nur das Feld anderer Teilchen.