Euklidische Geometrie im Nicht-Trägheitsrahmen

Was falsch ist, ist die Vorstellung, dass man die Scheibe tatsächlich zum Rotieren bringen kann; und es wird vollkommen starr bleiben.

In Wirklichkeit zeigt dieses korrekte Argument, dass die Relativitätstheorie die Existenz von vollkommen starren Körpern nicht zulässt . Dies ist ein absolut grundlegendes, festes und unbestreitbares Lehrbuchmaterial, das jeder reife Physiker kennt. Der erste Satz dieses Absatzes enthält einen Link zur Website von Gravity Probe B. Das Gedankenexperiment ist als Ehrenfest-Paradoxon bekannt und Ehrenfest selbst hat bereits 1909 die richtige Grundantwort – es gibt keine starren Objekte in der Relativitätstheorie – gegeben, als er das Gedankenexperiment skizzierte.

Wenn man eine feste Scheibe nimmt und sie rotieren lässt, wird sie alle möglichen Dinge tun, die sich aus der "Unvollkommenheit des Materials" ergeben. Sie reißt durch die Zentrifugalkraft auseinander, und wenn nicht, reißt sie entweder im Wesentlichen entlang radialer Linien, oder sie biegt sich (die Scheibe wird nicht mehr planar), weil der Umfang wirklich um den Lorentz-Faktor schrumpft. Wenn es ein Material gäbe, das vollkommen steif ist und sich nicht dehnen, biegen oder reißen kann, dann wäre es unmöglich, es zum Drehen zu bringen. In jeder relativitätsregierten Welt müssen sich einfach die richtigen Abstände zwischen den einzelnen Punkten/Atomen der Objekte ändern, wenn das Objekt in Bewegung gebracht wird. (Die Definition der Starrheit unter Verwendung der konstanten Eigenabstände zwischen Punkten/Atomen des Objekts wurde 1909 von Max Born gegeben und ist als Born-Steifigkeit bekannt.)

Das Nichtvorhandensein eines solchen Materials kann jedoch sogar mikroskopisch gezeigt werden. Es ist nicht möglich, jedem Festkörper zu "befehlen", in jedem Moment die richtigen Abstände einzuhalten, da der Abstand zwischen zwei Atomen (oder Punkten auf dem Festkörper) möglicherweise nur verzögert gemessen wird$\Delta t = \Delta x / c$einfach weil sich keine Information schneller als Licht bewegen darf. Deshalb ist es immer möglich, eine Stange an einem Ende zu quetschen , und das gegenüberliegende Ende der Stange bewegt sich zumindest dafür nicht$\Delta t = \Delta x / c$. Diese Beziehung zwischen der "begrenzten Geschwindigkeit von Signalen durch$c$“ und „Nichtexistenz starrer Objekte in der Relativitätstheorie“ wurde bereits 1911 von Max von Laue herausgestellt.

Tatsächlich wird die Verzögerung viel größer sein, was im Wesentlichen von der Schallgeschwindigkeit und nicht von der Lichtgeschwindigkeit bestimmt wird. Welches Material Sie auch haben, die Relativitätstheorie garantiert, dass es sowohl gequetscht als auch gedehnt und gebogen werden kann.

Nein, es verstößt nicht gegen die Regeln der Geometrie, es verstößt gegen die Regeln der euklidischen Geometrie. Einfache Schlussfolgerung: Für einen Beobachter, der an einer Scheibe befestigt ist, die sich gleichmäßig relativ zu einem Inertialsystem dreht, ist die räumliche Geometrie nicht euklidisch; insbesondere hängt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser sowohl vom Durchmesser als auch von der Mittelpunktsposition des Kreises ab. Es gibt keinen einfachen Begriff mehr$\pi$für einen solchen Beobachter. Die Geometrie ist ungefähr die der hyperbolischen Ebene, wie von Kaluza behauptet (der die unbegründete Behauptung aufstellte, dass es genau die der hyperbolischen Ebene war). Kurz gesagt, an Ihrer Argumentation ist nichts falsch: Sie ist genau richtig.

Dies ist eigentlich das Gedankenexperiment des berühmten Ehrenfest-Paradoxons und ich diskutiere es weiter in meiner Antwort hier .

Wie in der Antwort von Lubos ist es für die Scheibe unmöglich, starr zu bleiben, wenn ihre Winkelgeschwindigkeit von null auf ihren stationären Zustand ansteigt. Ein starrer Körper (im Sinne von etwas, das sich durch euklidische Isometrien bewegt) ist ein Konzept, das weder mit der speziellen noch mit der allgemeinen Relativitätstheorie vereinbar ist, da wir einen starren Körper mit einer Ausdehnung ungleich Null nicht beschleunigen können: wenn wir ihn an einem Ende schieben, am anderen Ende ein Abstand$L$weg kann sich nicht bewegen, bis mindestens eine Zeit$L/c$später, ohne die spezielle Relativitätstheorie zu verletzen. Die Scheibe muss in ihrem stationären Zustand in einem verspannten Zustand landen, um der von ihr geforderten Geometrie zu entsprechen (wie in meiner anderen Antwort begründet ), sonst zerbricht oder verzieht sie sich.

Bei solchen Problemen ersetzt im stationären Zustand ( z. B. konstante Winkelgeschwindigkeit für die Scheibe) ein schwächerer, verallgemeinerter Begriff der Born-Steifigkeit den Begriff eines starren Körpers, der euklidische Isometrien erfahren kann.

Beachten Sie aus ähnlichen Gründen, dass die radiale Koordinate$r$in der Schwarzschild-Metrik markiert die radiale Position, an der ein Kreis, der auf den Ursprung zentriert ist, einen Umfang von hat$2\,\pi\,r$. Dies ist per Definition und unterscheidet sich von dem Begriff des Radius, den man erhalten würde, wenn man einen Referenzpunkt an einem bestimmten "Radius" nimmt.$R_0$(gemessen mit dem Schwarzscild$r$koordinieren) und Messen eines radialen Abstands$\Delta r$(gemäß Ihren lokalen Messinstrumenten): Der Unterschied zwischen den Umfängen konzentrischer Kreise, die durch die beiden Punkte verlaufen, wäre nicht$2\,\pi\,\Delta r$- Die "Radien" addieren und subtrahieren nicht linear und bleiben durch die Konstante auf den entsprechenden Umfang bezogen$2\,\pi$. Der Schwarzschild$r$Koordinate des Punktes, den Sie erreichen, indem Sie beginnen bei$R_0$und radial eine Strecke zu Fuß gehen$\Delta R$unterscheidet sich von$R_0+\Delta R$. Auch hier gibt es kein einfaches Verhältnis von Umfang zu Durchmesser: Das Verhältnis hängt vom Radius und der Mittelposition des Kreises ab.

Das ist wieder nur die Relativität der Gleichzeitigkeit. Ähnliches passiert, wenn Sie eine Reihe von Raumschiffen in einer Reihe haben, die ihre Triebwerke zu einer festgelegten Zeit abfeuern. Verschiedene Beobachter werden sich darüber uneinig sein, ob sie gleichzeitig geschossen haben, und sie werden sich über den Abstand nicht einig sein. Immer konsequent.

Ich möchte also das Konzept der Geometrie ansprechen, indem ich keine Festplatte habe. Stellen Sie sich einen großen Abschnitt leeren Raums vor. Positionieren Sie dann ein Schiff in der Mitte eines Rings aus anderen Schiffen. Alle in Ruhe. Alle synchronisieren ihre Uhren. Alle Schiffe sind identisch.

Sie könnten einen Ring mit einem Radius von einem Lichtjahr bilden. Und sie könnten jeweils etwa 100 m voneinander entfernt gleichmäßig verteilt sein. Im Moment ist alles in Ruhe und niemand widerspricht irgendetwas.

Da die Uhren synchronisiert sind, konnten sie ein paar Jahre warten, um zu bestätigen, dass alle in Position waren, und dann könnten die Schiffe im Ring gemäß vorher festgelegten Plänen Raketen abfeuern, um sich im Kreis zu bewegen, bis sie eine vorbestimmte Geschwindigkeit (Umdrehungen pro Sekunde) und wenn Sie denken, dass sie ihre Umdrehungen pro Sekunde nicht bestimmen können, hätten wir Bojen um den Kreis herum beschriften können, damit sie wissen, an welchen Bojen sie vorbeikommen, wenn sie vorbeikommen. Oder sie können einfach dem vereinbarten Schubmuster folgen und es kann ein Plan sein, der nur dazu führt, dass der Beobachter in der Mitte sagt, dass er mit einer festen Geschwindigkeit fährt.

Wenn sie die Endgeschwindigkeit erreichen, wechseln sie zum Feuern, um sie mit einer konstanten Geschwindigkeit im Kreis fahren zu lassen (Bojen pro Eigenzeit, Umdrehungen pro Sekunde oder einfach das Triebwerk wie programmiert abfeuern, so dass der zentrale Beobachter sagt, dass es sich um eine konstante Geschwindigkeit handelt).

Also dachten sie ursprünglich, dass sie ungefähr 100 Meter voneinander entfernt um den Kreis herum gleichmäßig verteilt waren und dass sie ihre Triebwerke zunächst zur gleichen Zeit abfeuerten. Aber als sie anfangen zu beschleunigen, stimmen die sich bewegenden Rahmen der Schiffe im Ring nicht mehr damit überein, dass die Schiffe ihre Bewegungen zur gleichen Zeit machen. Sie glauben beispielsweise, dass das Schiff, das ursprünglich am weitesten entfernt war, ihre Manöver in Zeitlupe durchführt.

Der zentrale Beobachter ist träge und lässt jedes Ringschiff gleiche Bewegungen ausführen, wobei jedes seine Raketen mit der gleichen Geschwindigkeit nach außen abfeuert und mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit umkreist.

Die Ringschiffe sind nicht träge. Sie könnten Radarzeit und Radarentfernung verwenden, um keine diskontinuierlichen Änderungen in der Art und Weise zu haben, wie sie Entfernungen zu und Zeiten von getrennten Ereignissen messen, und diese werden auf Trägheitskoordinaten reduziert, wenn sie sich träge bewegen. Oder wir können zu jedem Zeitpunkt das augenblicklich mitbewegte Inertialsystem betrachten. Aber der Punkt ist, dass diese Rahmen für die Ringschiffe nicht beobachten, dass die anderen Schiffe ihre Raketen auf die gleiche Weise benutzen. Sie stimmen darin überein, dass die richtige Zeit auf den Schiffen, wie sie von den Bordschiffen aufgezeichnet wird, die gleichen Messwerte hat, wenn die Steuerungen an den Motoren auf den gleichen Einstellungen stehen. Sie stimmen zu, dass die subjektive Erfahrung jedes Schiffes dieselbe ist wie ihre (mit Ausnahme der Beschriftungen der Bojen, falls Sie diese verwenden). Aber was sie gemäß dem augenblicklich mitbewegten Rahmen beobachten, ist nicht

Dies unterscheidet sich nicht von den Schiffen in einer Linie, die gemäß den Borduhren mit einem festen Ratenplan beschleunigen (z. B. das Abfeuern einer Rakete für die erste Minute, dann zwei, dann drei und dann zwei, dann nur eine Rakete, dann keine). In der Linienversion beobachten sie, dass die Hinteren später beschleunigen und die Vorderen früh beschleunigen. Dies ist keine Änderung der Geometrie. Dies ist jedes Schiff, das auf einer gekrümmten Bahn fährt, und jedes hat einen sich mitbewegenden Trägheitsrahmen, der eine Ebene hat, eine Gleichzeitigkeit, die die Weltlinien der anderen Schiffe an verschiedenen Punkten ihrer Reise schneidet.

Es passiert nichts Seltsames. Wenn Ihr mitbewegter Trägheitsrahmen beobachtet, dass Ihre Nachbarschiffe ihre Raketen anders abfeuern als Sie Ihre, dann berechnet dieser Rahmen natürlich den Abstand zwischen Ereignissen in dieser Hyperebene der Gleichzeitigkeit als unterschiedlich.

Aber es gibt keine Änderung in der Geometrie. Es gibt eine flache Minkowski-Geometrie. Die Ringschiffe bewegen sich nicht trägheitsmäßig und die sich mitbewegenden Trägheitsrahmen beobachten nicht, dass die anderen Schiffe sich im Kreis bewegen, obwohl der zentrale Trägheitsbeobachter dies tut.

Sie können die Beschleunigung in einem riesigen Impuls ausführen, und dann gibt es zwei sich bewegende Rahmen für diesen Punkt. Der Pre-Impuls-Frame und der Post-Impuls-Frame.

Bewegt sich jemand am Rand der Scheibe, wird die Scheibe in Fahrtrichtung längenkontrahiert. Für sie ist es also kein Kreis, keine Probleme mit der Geometrie.

Die euklidische Geometrie gilt nur für eine Trägheitsebene der Gleichzeitigkeit. Am Ende dieser Antwort sollten Sie wissen, wann und wie Sie die euklidische Geometrie verwenden und was sie bedeutet (oder nicht). Und eine Ansammlung von Objekten, die zusammengenommen wie eine sich gleichmäßig drehende Scheibe in einem Einzelbild aussehen, wird in einem anderen Inertialsystem nicht so aussehen. Es ist also keine Festplatte in dem anderen Rahmen.

Stellen Sie sich die Weltlinien der Teile einer rotierenden Scheibe vor. Zeichnen Sie die Zeit als vertikale Achse. Im Rahmen des Zentrums ist die mittlere Weltlinie vertikal. Im Rahmen des Zentrums gehen die anderen Teile in Spiralen. Im Rahmen des Zentrums ist es möglich, dass die Teile alle im Kreis laufen (dazu müssen Kräfte auf die Teile ausgeübt werden, aber so drehen sich auch echte Scheiben).

Nun ist in einem sich träge bewegenden Rahmen die Hyperebene der Gleichzeitigkeit so geneigt, dass der räumliche Ursprung des Rahmens mit dem 45-Grad-Lichtkegel einen gleichen Winkel bildet wie die Wortleitung des Beobachters. Und es sind Vektoren in dieser Ebene der Gleichzeitigkeit, wo die euklidische Geometrie gilt. (Die Minkowksi-Geometrie gilt überall, aber sie reduziert sich auf eine euklidische Geometrie in einer raumähnlichen Ebene der Gleichzeitigkeit.)

In einem solchen Rahmen, der sich augenblicklich mit einem Teil der Scheibe mitbewegt, ist die Scheibe ein Objekt, das in der Zeichnung wie ein gestreckter Kreis aussieht (wir kommen gleich später zur Geometrie, ich möchte, dass Sie sehen, über welche Ereignisse wir sprechen in der Raumzeit). Der Schnittpunkt der Weltlinien des Objekts mit der Gleichzeitigkeitshyperebene des Rahmens ist wie ein Zylinderschnitt mit einer Ebene durch die Mitte des Zylinders. Nur eine Ebene ergibt einen kreisförmigen Querschnitt, das ist der Rahmen des Rotationszentrums.

Jetzt wissen Sie, wo die euklidische Geometrie Anwendung findet und worauf sie Anwendung findet. Sie können aus dem Raumzeitdiagramm ersehen, dass diese kleinen Vektoren alle in einer Gleichzeitigkeitsebene liegen. Und sie verfolgen verschiedene Ereignisse für verschiedene Ebenen.

Anstatt direkt zur Verwendung der euklidischen Geometrie zu gehen, die nur für Ereignisse in einer Hyperebene der Gleichzeitigkeit für einen Trägheitsrahmen gilt, könnten Sie über Raumzeitgeometrie sprechen. Dies gilt immer für Veranstaltungen. Zum Beispiel besteht die Weltlinie eines Teilchens aus Ereignissen, sodass Sie die richtige Zeit einer solchen Kurve zwischen zwei Ereignissen finden können. Oder Sie können über die Kurve raumartig getrennter Punkte in einer Gleichzeitigkeitsebene sprechen und ihre richtige Länge finden. Und dann kommt dieser euklidische Umfang, über den wir gesprochen haben. Aber nicht für einen Kreis, es sei denn, Sie wählen den einen Frame aus, bei dem es sich um einen Kreis handelt.

Aber wenn Sie diese raumartigen Kurven in einer Gleichzeitigkeitsebene vergleichen, sind sie eindeutig unterschiedliche Ereignisse für verschiedene Frames, daher unterschiedliche Kurven, sodass es keinen Grund gibt, zu erwarten, dass sie den gleichen Umfang haben. Wir entwickeln eine Intuition für die richtige Minkowski-Geometrie, um zu wissen, wann und ob wir die euklidische Geometrie verwenden können.

Für verschiedene Punkte am Rand der Scheibe erhält man verschiedene Gleichzeitigkeitsebenen, von denen jede mit dem Lichtkegel dort einen gleichen Winkel bildet wie die Weltlinie mit dem Lichtkegel bei diesem Ereignis. So erzeugt jeder Punkt am Rand und jedes Mal ein anderes mitbewegtes Bild.

Ich habe versprochen, über Geometrie zu sprechen, und Sie haben nach der Längenkontraktion gefragt.

Wenn Sie einen Stab in Ruhe haben, gehen seine Weltlinien gerade nach oben, aber für eine sich bewegende Beobachtung sind die Enden des Stabs der Schnittpunkt der Weltlinien der Enden mit einer Hyperebene der Gleichzeitigkeit. Das Liniensegment sieht in der Zeichnung möglicherweise länger aus. Aber es ist metrisch kürzer. Denn wenn wir sagen, dass die Ebene der Gleichzeitigkeit euklidisch ist, bedeutet das, dass es drei unabhängige Vektoren in der Ebene gibt, die alle eine positive Einheitslänge haben und die Ebene überspannen. Aus ihrer Sicht ist alles euklidisch. Aber wir müssen wissen, welche drei Vektoren die orthogonalen Einheitsvektoren sind.

Wenn die Einheitsvektoren in einer Ebene (z. B. der xy-Ebene) in zwei Richtungen zeigen, können wir die Zeit als z-Achse zeichnen. Dann ist der y-Einheitsvektor für einen Frame, der sich in x-Richtung bewegt, immer noch ein räumlicher Einheitsvektor, aber jetzt ein Vektor, der für den ersten Frame so aussieht, als würde er in die Zukunft zeigen, und in x-Richtung ist er jetzt ein räumlicher Vektor (lebt in der Hyperebene der Gleichzeitigkeit). Und es ist ein Vektor, der in der Originalzeichnung länger aussieht und eine Einheitslänge hat.

Der Punkt ist also, dass raumartige Vektoren, die in einem Frame ziemlich lang aussehen, Einheitslänge haben können. Die raumartigen Vektoren mit Einheitslänge können so geschrieben werden, dass sie Schwänze am Ursprung und Köpfe haben$(\sqrt{x^2+y^2+z^2-1},x,y,z),$was wie ein Hyperboloid aussieht. Der Punkt ist, dass die Vektoren, die in der Zeichnung nahe am Lichtkegel liegen, immer noch Einheitslänge haben, obwohl sie lang aussehen.

In dem Rahmen, der sich mit einem Punkt am Rand bewegt, ist die Richtung, die länglich aussieht, wenn Sie alles im Rahmen der Mitte gezeichnet haben, tatsächlich näher beieinander. Dies liegt daran, dass diese Ereignisse, wenn Sie sie entlang des Hyperboloids mit raumähnlichen Vektoren gleicher Größe von der Mitte der Scheibe verfolgen, am Ende kleiner sind als die raumähnlichen Vektoren, die zu den anderen Punkten gehen, und die mit der größten Größe nur die normale Größe haben. t ändern, wenn Sie Frames wechseln.

Wenn Sie sich also in x-Richtung bewegen, dann ist Ihre Scheibe von Ende zu Ende gleich lang$R\hat y$der Festplatte an die$-R\hat y$Ende der Scheibe, aber in der anderen Richtung ist es kürzer. Dies gilt für den Rahmen, der sich für diesen einen Moment mit diesem einen Punkt der Kante bewegt.

Aber in diesem Frame ist das Objekt, das in einem Frame eine Scheibe ist, keine Scheibe. Sie erwarten also nicht, dass eine Formel für einen Kreis in einem anderen Frame gilt, wenn Sie sie nicht auf einen Kreis anwenden. Und Sie messen sowieso verschiedene Ereignisse.

Ich bin versucht, den Standpunkt eines Experimentators zu vertreten, obwohl ich natürlich den Antworten von Lubos und Savanah zustimme.

Stellen Sie sich eine Scheibe mit Radius R vor, dann ist der Umfang 2πR. Lassen Sie nun diese Scheibe mit einer Geschwindigkeit in der Größenordnung von c (Lichtgeschwindigkeit) rotieren.

Hier ist es offensichtlich, dass Sie ein Massenschwerpunktsystem für eine Scheibe und eine Person/Maschine definieren, die ihr eine Winkelbeschleunigung verleihen, um eine Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit zu erreichen. Damit definieren Sie implizit einen klassischen starren Körper.

Aber die zugrunde liegende Ebene der Natur ist quantenmechanisch. Auf dieser Ebene ist jedes Atom durch elektromagnetische Kräfte an ein anderes Atom/Molekül gebunden, die quantenmechanische Gleichungen erfüllen, nicht die der klassischen Mechanik.

Ein Analogon ist, als ob all diese Atome / Moleküle mit Federn aneinander befestigt sind, die bei niedrigen Beschleunigungen (Beschleunigung überträgt Kräfte elektromagnetisch auf atomarer Ebene, daher die Lichtgeschwindigkeitsgrenze) und bei klassischen Entfernungen und Geschwindigkeiten starr sind und somit haben wir die klassischen starren Körper, aber wenn die Beschleunigungen hoch werden, kann keine Modellierung starrer Körper funktionieren. Auch ein klassisches Modell einer Scheibe mit Federn würde Verformungen seiner Form zeigen.

Daher kann man die euklidische Geometrie nicht auf ein System anwenden, bei dem es sogar schwierig ist, einen Massenschwerpunkt zu definieren, gegen den spezielle Relativitätstransformationen angewendet werden können. An jedem Radius wirken unterschiedliche Kräfte und es kann kein gemeinsames Schwerpunktsystem definiert werden, bei dem die Scheibenform kreisförmig sein wird, da an jedem Radius unterschiedliche Kräfte aufgebracht werden und die Rotationsverformung unvermeidlich ist.