Wenn zeitähnliche Pfade Geodäten sind, welches physikalische Prinzip gilt dann für raumähnliche Intervalle?

Wenn ich mehrere Teilchen lokal miteinander wechselwirken lasse, dann bewegt sich der Massenmittelpunkt des Systems entlang einer Geodäte. Wenn ich dies mit den Partikeln fortführe, die über ein EM-Feld wechselwirken, kann ich auch sagen, dass sich das Energiezentrum des elektromagnetischen Systems auch entlang einer Geodäte bewegt – einer geraden Linie im Minkowski-Raum.

Welches analoge physikalische Prinzip gilt für raumähnliche Intervalle?

Für ein geschlossenes EM-System als Beispiel vermute ich, dass es etwas damit zu tun hat: Der gesamte Vier-Impuls, der eine 3-D-Oberfläche im Minkowski-Raum verlässt, ist stationär, aber ich bin mir nicht ganz sicher.

Es gibt keine Einschränkung für die Geoesik, nur zeitähnlich zu sein. Geodätisch ist einfach der "minimal" mögliche Pfad zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum (oder in der Zeit). Der Raum senkrecht zur Tangente der Weltlinie, der vollständig von raumähnlichen Geodäten überspannt wird, kann als Verbindung zu Raumzeitereignissen angesehen werden, die "gleichzeitig" mit diesem bestimmten Punkt dieser bestimmten Weltlinie sind.
Beachten Sie, dass dies nur zutrifft, wenn die Partikel klein genug sind, dass ihre Gravitationswechselwirkung und die von ihnen verursachte Krümmung im Verhältnis zum Hintergrund klein sind.

Antworten (1)

Ich glaube nicht, dass es eine analoge Aussage für raumartige Intervalle gibt. Die Aussage "Der Massenschwerpunkt folgt einer Geodätischen" ist eine unmittelbare Folge der globalen Impulserhaltung. Dies folgt wiederum aus der lokalen Impulserhaltung.

∂ μ T μ a = 0
Wo T a β ist der Spannungs-Energie-Tensor. In Analogie zur Ableitung der globalen Vierer-Impuls-Erhaltung fix X 3 und integrieren Sie diese Gleichung über ein 3D-Volumen mit 2 raumartigen und 1 zeitartigen Dimensionen, v , zu bekommen
∫ v D X 0 D X 1 D X 2 ∂ 3 T 3 a = − ∫ v D X 0 D X 1 D X 2 ( ∂ 0 T 0 a + ∂ 1 T 1 a + ∂ 2 T 2 a ) = − ∫ v D X 0 D X 1 D X 2 ∇ ⋅ T = − ∫ ∂ v D S → ⋅ T
wo das Integral in der letzten Zeile über die Grenze von v . Nun lassen wir bei der konventionellen Ableitung eines globalen Erhaltungsgesetzes aus einem lokalen die Größe von v gegen Unendlich streben, und da wir verlangen, dass alle Felder im Raum im Unendlichen verschwinden, gibt uns die linke Seite, dass die Zeitableitung einer Größe 0 ist. In unserem Fall, wo wir nach dem räumlichen Analogon zu einem Erhaltungssatz suchen, Wir haben zwei Probleme. Zuerst unsere 'konservierte' Menge
P a = ∫ D X 0 D X 1 D X 2 T 3 a
hängt vom Wert ab T zu allen Zeiten, was wir im Allgemeinen nicht wissen. Zweitens in der Grenze, dass T → ± ∞ Energieerhaltung bedeutet T kann im Allgemeinen nicht verschwinden und da interessieren wir uns für T für einige fest X 3 der Fluss von T In + ∞ Und − ∞ Grenzen müssen nicht aufgehoben werden. Dies bedeutet, dass unsere „konservierte Menge“ tatsächlich nicht „konserviert“ ist, sondern sich ändern kann, wenn wir variieren X 3 .

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