Ist das Fermatsche Prinzip nur eine Annäherung?

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es nicht ganz klar, was "kürzeste Zeit" bedeutet, da Sie fragen müssen, "von wessen Zeit sprechen Sie"? Sprechen Sie über die Zeit, die vom Emitter gemessen wird? Der Empfänger? Jemand anderes "weit weg" von ihnen beiden? Alle drei dieser Größen können unterschiedlich sein.

Vielmehr ist es produktiver zu sagen, dass sich Lichtstrahlen auf Null-Geodäten in der Raumzeit ausbreiten. Eine Geodäte ist ein Pfad, der "lokal gerade" ist; Das bedeutet, dass es zwischen Punkt A und Punkt B keine "nahen" Pfade gibt, die ein wesentlich größeres oder kleineres integriertes Raumzeitintervall haben. Sie liegen also nicht falsch, wenn Sie sagen, dass der Weg des Lichtstrahls „die kleinste Strecke durch die Raumzeit zurücklegt“, wenn Sie „legt die kleinste Strecke zurück“ durch „ist ein stationärer Punkt des Raumzeitintervalls“ ersetzen. Es gibt eine Ähnlichkeit zwischen diesen beiden Begriffen, aber letzteres ist mathematisch präziser.

Wenn Sie mit der Variationsrechnung vertraut sind, möchten Sie vielleicht einen kurzen Blick auf die Wikipedia-Seite zur Geodäsie in der allgemeinen Relativitätstheorie werfen , insbesondere auf den Abschnitt über "Kurven des stationären Intervalls". Ausführlichere Vorlesungsmitschriften finden Sie auch hiercalculus of variations geodesic spacetime oder an vielen anderen Stellen, indem Sie nach oder einer Variante davon suchen .

Es ist der kürzeste Weg.

Fermats Prinzip selbst baute auf zwei früheren Beobachtungen auf: Einerseits hatten die Griechen festgestellt, dass sich Licht bei Reflexionen auf dem Weg der geringsten Entfernung ausbreitet; Andererseits hatte Snell entdeckt und Descartes verbreitet, dass Licht bei der Brechung einem "Sinusgesetz" gehorcht, das besagt, dass das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit in den beiden Medien gleich dem Verhältnis der Sinuswinkel ist, die das Licht bildet mit der Normalrichtung der Schnittstelle.

Wenn nun Licht immer den Weg der geringsten Entfernung nehmen würde, würde sich Licht nicht biegen, wenn es in andere Medien eintritt, wo seine Geschwindigkeit anders ist, wie Prismen oder Wasser. Sie sind genau äquivalent, wenn wir diese Brechung nicht einbeziehen. Was Fermat abgeleitet hat, war, dass man das Snellsche Gesetz erhalten könnte, indem man annimmt, dass Licht nicht den Weg der kürzesten Entfernung nimmt, sondern den Weg der kürzesten Zeit, was für die Zwecke der Bewegung in geraden Linien oder Reflexionen äquivalent ist, aber für Brechungen anders ist.

Wenn nun Licht von einem Medium in ein anderes übergeht, muss die Energieerhaltung an der Grenze gelten, was durch$E=hf$bedeutet, dass die einfallenden Photonen ihre Frequenz nicht ändern können, sondern vollständig mit einer Änderung ihrer Wellenlänge reagieren müssen. Sie können dies auch rein in einem Wellenkontext ohne Quanten verstehen: Die Welle ist über die Grenze hinweg kontinuierlich, was bedeutet, dass diese Spitzen der Wellenfronten über die Grenzfläche hinweg konsistent sein müssen, aber dies bedeutet, dass die Zeitrate der Spitzen, die in das neue Medium eintreten muss genau die gleiche sein wie die Zeitrate der Spitzen, die die alte verlassen, was bedeutet, dass die Frequenz in beiden gleich ist. In einem tiefen Sinn sagt uns das, dass „Zeit“ das ist, worauf wir schauen wollen. Lassen Sie mich Ihnen einen kleinen Vorgeschmack darauf geben.

Die Quantentheorie gibt uns eine radikale Neuinterpretation des Prinzips der kürzesten Zeit, indem sie sagt, dass Licht vielleicht alle Wege von einem Punkt zum anderen nimmt, aber wir sehen nur die Wege, die für seine konstruktive Interferenz am wichtigsten sind. Sie wissen vielleicht, dass zwei Wellen konstruktiv interferieren können,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t) = 2\cos(2\pi~f~t),$oder destruktiv,$\cos(2\pi~f~t) + \cos(2\pi~f~t +\pi) = 0,$oder vielleicht durch eine Kombination der beiden. Die Idee dabei ist, dass wir eine Summe aus vielen verschiedenen Pfaden haben, die jeweils einige Zeit in Anspruch nehmen$T$um dorthin zu gelangen, also wird die endgültige Intensität der Welle eine große Summe von Begriffen sein, die aussehen$\cos(2\pi~f~t + 2\pi~f~T)$.

Jetzt gehen wir mit einiger Zeit einen Weg$T$und ein paar Pfade in der Nähe, was passiert? Nun, normalerweise haben diese nahe gelegenen Pfade eine Reihe von Zeiten, einige länger und andere kürzer. Nennen Sie den Zeitunterschied$\delta T$. Seit$f$eine sehr große Zahl ist, wird jeder Pfad, der mehr als etwa einen Mikrometer oder länger ist, eine Phasendifferenz sehen$f~\delta T > 1/2$und wir werden eine Menge konstruktiver und destruktiver Interferenzen bekommen, die sich im großen Ganzen alle gegenseitig aufheben. Daraus leiten wir ab, dass sich Licht überhaupt nicht ausbreiten kann, wenn Licht alle Wege nimmt! Großartig, oder?

Nun gut, es gibt einen Haken . Der Haken ist, dass, wenn Sie sich einen lokalen Extremum-Pfad ansehen – es könnte der längste oder der kürzeste sein –, dann brauchen alle nahe gelegenen Pfade ungefähr die gleiche Zeit und$\delta T = 0.$Es ist ungefähr so, wenn wir von einer großen Hügellandschaft mit abgerundeten Gipfeln und Tälern sprechen: Wenn ein paar Leute nebeneinander stehen, dann ist es sehr wahrscheinlich, dass einige von ihnen über oder unter den anderen stehen, weil sie Sie befinden sich wahrscheinlich an einem Hang, und dann bringt der Hang einige von ihnen über oder unter die anderen. Aber es gibt ein paar Stellen, an denen dies nicht der Fall ist: ganz oben auf Hügeln oder am Fuß von Tälern, wo die Oberfläche, um "oben" oder "unten" zu sein, tatsächlich lokal "flach" sein muss. Dann müssen alle diese Menschen, die in der Nähe des Gipfels oder des Talbodens nebeneinander stehen, auf gleicher Höhe sein. Dies ist das gleiche Argument, aber die „Menschen“ sind „Wege, die das Licht nehmen kann“, und die „Höhe“ ist die „$2\pi~f~T.$

Wir können dieses Spiel auch mit Entfernungen spielen, aber auch hier müssen wir die Wellenlängen ändern, wenn wir die Brechung betrachten, da die Wellenlänge über die Grenzflächen hinweg nicht gleich ist. Aber da Frequenz ist, können wir einfach das gleiche "Mindestzeit" -Prinzip beibehalten und es auch für die Brechung funktionieren lassen, auf eine Weise, die wir für die Mindestentfernung nicht können.

1. Nun, das Fermat-Prinzip wird normalerweise im Zusammenhang mit einem sich nicht bewegenden optischen System diskutiert, das relativ zu einem Laborrahmen befestigt ist. Die Zeit$t$dh (lokal) extremisiert ist die Laborzeit$t$, nicht zB die richtige Zeit$\tau$. (Letzteres macht für masselose Teilchen möglicherweise keinen Sinn!)

2. Daher hat das System einen bevorzugten Bezugsrahmen, nämlich den Laborrahmen. Daher ist es weniger interessant (aber sicherlich möglich und einfach), zu anderen Inertialsystemen zu gehen, indem Lorentz-Transformationen auf die Laborzeit angewendet werden$t$.

3. Das Fermat-Prinzip ist sicherlich eine Annäherung an die vollständige QED . Siehe zB this & this Phys.SE posts. Aber es ist keine Annäherung an SR , wenn man einmal erkennt, dass die extremisierende Zeit$t$ist die Laborzeit.

4. Lassen Sie uns abschließend noch erwähnen, dass das Fermatsche Prinzip oberflächlich betrachtet wie das stationäre Wirkungsprinzip für die geodätische Gleichung aussieht. Siehe zB this & this Phys.SE posts. Aber der Teufel steckt im Detail: In diesem stationären Wirkprinzip ist es die richtige Zeit$\tau$das ist extremisiert (für massive Punktteilchen). Informationen zu masselosen Punktteilchen finden Sie in diesen und diesen Phys.SE -Beiträgen.

Zwei Kommentare. Der erste betrifft die Terminologie. Raumzeit vermischt Zeit und Raum; es ist die 4-dimensionale "Dimension", in der wir leben. Um getrennt über Zeit oder räumliche Entfernungen zu sprechen, müssen wir uns auf einen Referenzrahmen einigen (im einfachsten Fall auf einen Trägheitsrahmen, aber natürlich, wenn wir die Erde, die Sonne und die Milch umkreisen Übrigens ist unser Rahmen nicht träge). Wie auch immer, Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie über "Zeit" oder "Entfernung" in der Raumzeit sprechen. Und wenn Sie die Relativitätstheorie nicht verstehen (beide Geschmacksrichtungen, je nach Diskussion), dann sollten Sie wahrscheinlich beide Begriffe vermeiden. Der andere Kommentar bezieht sich auf den Weg mit der geringsten Zeit. Licht (im Vakuum) bewegt sich mit c. Nichts kann schneller reisen. Oft werden SR-Raum-Zeit-Diagramme als Graphen mit einer räumlichen Dimension (oft die x-Richtung, aber manchmal als Projektion aller drei raumartigen Entfernungen vom Ursprung) und Zeit als vertikale Dimension. Die Einheiten sind fast immer so gewählt, dass Licht unter einem Winkel von 45° läuft. Wenn ich also für jeden Punkt A in diesem Diagramm einen Punkt B so markiere, dass der Winkel zwischen A und B, gemessen durch Parallelen zur Raumachse, beispielsweise WENIGER als 45 ° beträgt, und dann einen Pfad zwischen den Punkten zeichne, dann ist dieser Weg "raumartig" und eine hypothetische Reise entlang ihm wäre schneller als Licht. Diese Wege sind nicht erlaubt. Ihr Szenario würde einen solchen unzulässigen Pfad erfordern. WENIGER als 45° ist, und dann einen Pfad zwischen den Punkten zeichnen, dann ist dieser Pfad "raumartig" und eine hypothetische Reise entlang wäre schneller als Licht. Diese Wege sind nicht erlaubt. Ihr Szenario würde einen solchen unzulässigen Pfad erfordern. WENIGER als 45° ist, und dann einen Pfad zwischen den Punkten zeichnen, dann ist dieser Pfad "raumartig" und eine hypothetische Reise entlang wäre schneller als Licht. Diese Wege sind nicht erlaubt. Ihr Szenario würde einen solchen unzulässigen Pfad erfordern.

Erstens ist das Fermatsche Prinzip im Zusammenhang mit der Optik immer eine Annäherung: Es definiert eine Annäherung, nämlich den ersten Term in der WKB-Annäherung an die Lösung entweder der quasi-zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen oder allgemeiner der Helmholtz-Gleichungen Gleichung. Hier ist der WKB-Skalenparameter die Wellenlänge, die im Vergleich zu den Eigenschaften eines fraglichen Mediums als klein angenommen wird. Wie in CR Drosts Antwort schön erklärt , ist die Intuition dahinter, dass Fermats Prinzip Pfade der stationären Phase definiert, um die Beugungseffekte hinzugefügt werden, um die vollständige Lösung des Problems zu erhalten, und ohne Annäherung extrem weit anwendbar ist, dhDas Fermat-Prinzip ergibt ohne Annäherung den ersten Term in der relevanten WKB-Erweiterung in allen unten diskutierten Situationen. Dazu gehören alle speziellen relativistischen (flache Raumzeit) Probleme und auch statische allgemeine relativistische.

Die extremisierte Größe oder der optische Lagrange ist die optische Weglänge , ausgedrückt als Phasendifferenz zwischen den Enden des Strahlengangs – beispielsweise in Wellen oder Bogenmaß. Ein sorgfältiges Lesen und Nachdenken über die Antwort von CR Drost zeigt diese Tatsache deutlich. Daher ist es wahrscheinlich nicht hilfreich, es als Prinzip der kürzesten Zeit zu betrachten, da dies, wie in Michael Sieferts Antwort , in der Relativitätstheorie problematisch sein kann. Im Gegensatz dazu ist das Phasenfeld einer stationären optischen Anregung in einem Medium ein skalares Feld, dh es transformiert sich als solches.

In der Speziellen Relativitätstheorie kann man sehen, wie sich das Prinzip in zwei verschiedenen, relativ verstärkten Trägheitssystemen auswirkt, indem man das fragliche stationäre optische Feld aus den beiden verschiedenen Systemen in dem Moment betrachtet, in dem die Ursprünge ihrer Koordinatensysteme übereinstimmen. einfallen. Lassen Sie uns einen der Rahmen relativ zu den materiellen Medien, in denen das Feld etabliert ist, in Ruhe setzen. Fermats Prinzip spielt sich in diesem Rahmen auf die gewohnte Weise ab.

Der sich relativ bewegende Beobachter sieht das Medium in Lorentz-transformierten Koordinaten. Maxwells Gleichungen sind immer noch Lorentz-kovariant mit dem vorhandenen Medium, aber die Medieneigenschaften und die konstitutiven Beziehungen ändern sich radikal. Intuitiv können Sie sehen, dass dies so ist; Die Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion ändert die optische Dichte des Mediums anisotrop. In der Tat, wenn wir ein einfaches, anisotropes Medium im Ruhesystem mit elektrischen und magnetischen Konstanten haben$p_e$und$p_m$(Man vermeidet Epsilons und Mus bei dieser Art von Berechnungen, um Verwechslungen mit griechischen Indizes auf Tensoren zu vermeiden), der sich relativ bewegende Beobachter sieht eine anisotrope magnetoelektrische Konstante , so dass:

wo natürlich$\vec{v}$ist die Relativgeschwindigkeit.

Das Ergebnis von all dem ist, dass beide Beobachter das gleiche skalare Phasenfeld aus ihrer Version der Maxwell-Gleichungen berechnen und daher ein Strahlengang ein extremaler optischer Weglängenweg in einem Rahmen ist, wenn und nur wenn er ein extremaler Weg in dem anderen ist. Wir sehen also, dass das Fermat-Prinzip uns in beiden Fällen die gleichen Strahlen gibt.

Eine Eigenart dabei ist, dass im anisotropen Medium, wie es vom relativ bewegten Beobachter gesehen wird, das Snellsche Gesetz nicht für Strahlen an Grenzflächen gilt, obwohl es für Wellenvektoren gilt. Phasenfronten sind nicht notwendigerweise normal zu den Poynting-Vektoren. Dies ist die gleiche Situation wie in einem anisotropen Kristall. Aber Fermats Prinzip gilt immer noch.

Bei der Allgemeinen Relativitätstheorie müssen wir etwas vorsichtig sein. Das optische Fermat-Prinzip wendet zeitinvariante Medien an. Daher kann es nicht auf nichtstatische Raumzeit - oder zumindest eine ohne zeitähnliches Killing Field - mit oder ohne materielle Medien angewendet werden (zumindest ist mir keine Erweiterung bekannt). Denn in erster Linie gilt das Fermatsche Prinzip für zeitharmonische elektromagnetische Felder, wobei Pulse und dergleichen durch Fourier-Überlagerungen zeitharmonischer Lösungen beschrieben werden;

Aber für eine statische, gekrümmte Raumzeit ist die Situation ähnlich wie bei der speziellen relativistischen. Verschiedene Beobachter sehen die Materialeigenschaften und Konstituenten eines Mediums unterschiedlich, aber so, dass sie sich alle auf das skalare Phasenfeld für eine gegebene optische Anregung des Mediums im stationären Zustand einigen würden, und sie würden alle dieselben Strahlenwege aus dem Fermat-Prinzip berechnen.

Tatsächlich hat eine leere, mediumlose gekrümmte Raumzeit die konstitutiven Beziehungen (Plebanskis konstitutive Gleichungen, siehe J. Plebanski Phys. Rev. 118 (1960), S. 1396:

wobei wir über räumliche Indizes summiert haben$1,\,2,\,3$nur (beachten Sie die römischen statt der griechischen Indizes) und die$\varepsilon$ist das dreidimensionale , räumliche Levi-Civita-Symbol. Diese Beobachtung ist der Ausgangspunkt für das Gebiet der Transformationsoptik : die Verwendung metamaterieller Medien zur Nachahmung der Ausbreitung im räumlich gekrümmten Teil der statischen gekrümmten Raumzeit. Diese Ideen sind zum Beispiel sehr vielversprechend für die Realisierung optischer Tarnvorrichtungen: Materielle Medien, deren elektrische, magnetische und magneto-optische Konstanten mit den obigen übereinstimmen, breiten Licht aus, ebenso wie natürlich ein leerer gekrümmter Raum ohne Streuung. Licht kann durch solche Medien ohne Streuung um Objekte herum gebogen werden, und es ist nicht allzu schwer zu erkennen, dass das zu tarnende Objekt in Bereichen verborgen werden kann, die für einen Beobachter nicht erreichbar sind. Siehe zum Beispiel:

Ulf Leonhardt und Thomas G. Philbin, „Transformationsoptik und die Geometrie des Lichts“, Prog. Option. 53 , S. 69-152 (2009