Ableitung des Kraftgesetzes in der speziellen Relativitätstheorie

Ich habe gesehen, dass Kraft in der speziellen Relativitätstheorie als die Änderungsrate des 4-Impulses definiert ist

F = D P D T

Kann jemand die folgende Ableitung dieser Beziehung kommentieren?

Nehmen Sie eine Raumdimension. Wenn ich mich mit 4 Geschwindigkeit bewege U ( T ) = D X D τ , dann würde ich eine Beschleunigung von erleben D U D τ . (Schnelle Klarstellung: seit U eine konstante Norm hat, wird sie orthogonal zu ihrer Ableitung sein, also U ⋅ D U D τ = 0 . Und da in meinem momentan mitbewegten Bezugssystem (MCRF) U liegt ganz in der Zeitrichtung, meine Beschleunigung, D U D τ , wird vollständig in Raumrichtung sein.) Also, in meinem MCRF,

D U D τ = A ( 0 1 ) = A ⋅ e → X

Hier ist der Schritt, bei dem ich mir nicht sicher bin: Wäre es richtig, die Beschleunigung, die ich spüre, gleichzusetzen, A , mit der Kraft, die mein Raketentriebwerk auf mich ausübt, geteilt durch meine Masse, F / M ? Das würde uns geben

F e → X = M D U D τ

Auf drei räumliche Dimensionen verallgemeinernd, würden Sie erhalten

F := F X e → X + F j e → j + F z e → z = M D U D τ

Schließlich, in meinem MCRF, D τ = D T , also würden Sie das ursprüngliche Kraftgesetz erhalten. Ist dies ein korrekter Weg, um das Kraftgesetz in der speziellen Relativitätstheorie abzuleiten?

Antworten (1)

Nein, ist nicht richtig, weil man sagt, dass die Beschleunigung A du fühlst ist F M impliziert, dass Sie das Bewegungsgesetz verwenden:

F = M A
Was in der klassischen Mechanik gilt, nicht in der speziellen Relativitätstheorie. Die richtige Beziehung kann formal durch ein Prinzip der kleinsten Wirkung hergeleitet werden

In der speziellen Relativitätstheorie muss das Gesetz, das wir ableiten, unter der Lorentz-Transformation invariant sein. Mit anderen Worten, das Gesetz muss in jedem Trägheitsbezugssystem die gleiche Form haben, der zustimmt, dass die Lichtgeschwindigkeit c ist. Das Problem ergibt sich aus der Tatsache, dass die Freiteilchen-Lagrangedichte in der Klassischen Mechanik:

L = 1 2 M v 2
Ist unter der Lorentz-Transformation nicht invariant. Wenn Sie also die Euler-Lagrange-Gleichungen verwenden, um das Bewegungsgesetz zu bestimmen (das F = ma ist), wäre dies falsch. Stattdessen sollten Sie einen Lagrangian ''bauen'', der Lorent-invariant ist, zum Beispiel:

L = − M C 2 1 − v 2 C 2

Dies ist die Lorentz-Invariante. Wenn Sie also die Euler-Lagrange-Gleichungen verwenden (die, wie ich mich erinnere, durch das Prinzip der kleinsten Wirkung abgeleitet sind), erhalten Sie die richtige Gleichung:

F → = D D T ( M γ u v → )

Es wäre hilfreich, wenn Sie die richtige Beziehung erläutern könnten. Was ist zum Beispiel die Definition von Kraft, die Sie jetzt (implizit) verwenden, wenn Sie sagen, dass sie nicht gleich sind?
Entschuldigung, ich habe die Antwort bearbeitet
Ableitung des Kraftgesetzes in der speziellen Relativitätstheorie
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