Lagrange-Euler-Gleichungen für eine Perle, die sich auf einem Ring bewegt

Ich glaube, Sie haben Ihre Geometrie falsch. Sie müssen die Geschwindigkeit in drei Dimensionen einstellen:$\dot{\bf x} = (\dot x,\dot y,\dot z)$. Dann$\dot{\bf x}^2 = \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2$. Wandle das in sphärische Koordinaten um$(r, \theta, \phi)$, mit$\theta$als Winkel von der z-Achse nach unten zur xy-Ebene und$\phi$$ als Winkel um die z-Achse, ausgehend von der x-Achse.

Die z-Achse verläuft durch einen Durchmesser des Rings, und der Ring dreht sich um die z-Achse.$\omega = \mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t$; Die$\omega^2\sin^2 \theta$Der Begriff kommt von der Drehung des Reifens und der$\dot\theta^2$Der Begriff kommt von der Bewegung des Partikels entlang des Reifens. Nachdem Sie die Definitionen von eingefügt haben$(r, \theta, \phi)$bezüglich$(x, y, z)$und wenden Sie die Einschränkung an, dass$a^2 = x^2 + y^2 + z^2$, der Rest ist Algebra. Die meisten Begriffe heben sich auf und/oder vereinfachen sich auf diese beiden Begriffe.

Ich bin mir nicht sicher, woher dieser Faktor kommt$sin^2 \theta$kommt aus der kinetischen Energie. Wenn$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit des Rings, dann sollte es nur sein:

Das ist weil$x=a cos(\theta +\omega t)$Und$y=a sin(\theta +\omega t)$, die mit einer einfachen Geometrie gefunden werden kann. Wenn Sie die Zeitableitung nehmen, erhalten Sie:

So:

Der$\sin(\theta)$kommt unter Berücksichtigung der kinetischen Rotationsenergie der Masse hinzu. Also nehmen$\theta$Da die Masse vom Boden der Schleife stammt, hat sie, wenn sie dort hängt, keine kinetische Rotationsenergie. Bei$\theta=\pi$, hat die Masse die maximal mögliche kinetische Rotationsenergie.