Euler-Lagrange-Gleichungen mit nichtkonservativer Kraft (Beispiel)

Question

Euler-Lagrange-Gleichungen mit nichtkonservativer Kraft (Beispiel)

LGenzelis

Ich versuche zu verstehen, wie man die Euler-Lagrange-Formulierung verwendet, wenn mein System externen Kräften ausgesetzt ist. Betrachten Sie das unten abgebildete System:

Definieren wir den Lagrangian wie immer als $L = K - V$ , wo die äußeren Kräfte überhaupt keine Rolle spielen.

Wenn $F_x \equiv F_\theta \equiv 0$ , wäre die Standard-Euler-Lagrange-Formulierung für das System:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = 0

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = 0

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} \right ) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

Nun, laut einem Papier, das ich gerade lese, wenn wir die Kraft einbeziehen $F_x(t)$ (dh $F_x(t) \not \equiv 0$ ), sollte die erste Gleichung nun durch ersetzt werden

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = F_{X} (T)

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = F_x(t)$

Das macht natürlich Sinn, aber ich versuche zu verstehen, wie man dieses Verfahren auf verschiedene Streitkräfte ausdehnt, und bin etwas verloren. Nehmen wir zum Beispiel jetzt die Kraft mit auf $F_\theta(t)$ . Wie würden sich die Euler-Lagrange-Gleichungen ändern, um dies zu berücksichtigen?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/153302/2451 , physical.stackexchange.com/q/283238/2451 und Links darin.

LGenzelis

@Qmechanic Ich war schon einmal über diese Frage gestolpert und fand die Antwort nicht klar genug. Außerdem ist das eine allgemeine Frage, während meine nach einem konkreten Beispiel fragt.

QMechaniker

Hallo @LGenzelis: Die Frage (v4) ist unklar. Sprechen Sie von externen Kräften (Haupttext) oder nicht-konservativen Kräften (Titel)? Welche Variablen hat die Kraft

F_{i}

$F_i$ darauf ankommen? Der Titel (v4) wurde geändert.

Antworten (1)

Euler-Lagrange-Gleichungen mit nichtkonservativer Kraft (Beispiel)

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/153302/2451 , physical.stackexchange.com/q/283238/2451 und Links darin.
@Qmechanic Ich war schon einmal über diese Frage gestolpert und fand die Antwort nicht klar genug. Außerdem ist das eine allgemeine Frage, während meine nach einem konkreten Beispiel fragt.
Hallo @LGenzelis: Die Frage (v4) ist unklar. Sprechen Sie von externen Kräften (Haupttext) oder nicht-konservativen Kräften (Titel)? Welche Variablen hat die Kraft $F_i$ darauf ankommen? Der Titel (v4) wurde geändert.

Dirakologie · Answer 1

Wenn die Kraft nicht von einem Potential abgeleitet wird, wird das System als polygen bezeichnet und das Prinzip der kleinsten Wirkung gilt nicht. Die Euler-Lagrange-Gleichungen können jedoch aus dem d'Alembert-Prinzip abgeleitet werden .

Wenn wir die angewendeten (oder angegebenen) auf das Teilchen wirkenden Kräfte zerlegen $\alpha$ in monogen (abgeleitet von einem Potential), $\vec F_\alpha^m$ und polygene Kräfte, $\vec F_\alpha^p$ , dann lautet das d'Alembert-Prinzip:

\sum_{a} ({\vec{F}}_{a}^{M} + {\vec{F}}_{a}^{P} - {\dot{\vec{P}}}_{a}) \cdot δ {\vec{R}}_{a} = 0.

$\sum_\alpha(\vec F_\alpha^m+\vec F_\alpha^p-\dot{\vec p}_\alpha)\cdot\delta\vec r_\alpha=0.$ Der nächste Schritt besteht darin, diese Gleichung in verallgemeinerten Koordinaten zu schreiben

q_{i}

$q_i$ . Das Ergebnis ist die folgende Bewegungsgleichung

\frac{D}{D T} \frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} = Q_{ich}^{M} + Q_{ich}^{P},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i^m+Q_i^p,$ Wo

\begin{matrix} (1) & Q_{ich}^{P} \equiv \sum_{a} {\vec{F}}_{a} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{a}}{\partial Q_{ich}} . \end{matrix}

$Q_i^p\equiv\sum_\alpha\vec F_\alpha\cdot\frac{\partial \vec r_\alpha}{\partial q_i}.\tag1$

Die monogene Kraft kann aus einem Potential gewonnen werden $V$ ,

Q_{ich}^{M} = - \frac{\partial v}{\partial Q_{ich}},

$Q_i^m=-\frac{\partial V}{\partial q_i},$ daher die Bewegungsgleichung

\frac{D}{D T} \frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial T}{\partial Q_{ich}} + \frac{\partial v}{\partial Q_{ich}} = Q_{ich}^{P} .

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial V}{\partial q_i}=Q_i^p.$ Wenn das Potential nicht von Geschwindigkeiten abhängt, kann diese Gleichung auch geschrieben werden als

\begin{matrix} (2) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = Q_{ich}^{P}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^p,\tag2$ Wo

L = T - V

$L=T-V$ ist die Lagrange-Funktion. Gleichung (2) ist diejenige, die Sie zusammen mit Gl. (1) um die verallgemeinerte Kraft zu erhalten

Q_{i}^{p}

$Q_i^p$ .

Bearbeiten:

Wenden wir diesen Ansatz nun auf das in der Frage gestellte Beispiel an. Es gibt zwei äußere Kräfte, die geschrieben werden können als $\vec F_1 = [F_x(t) \; , 0]^T$ Und $\vec F_2 = [0 \; , -F_\theta(t)]^T$ . Die Position jedes Körpers (als Punktmasse betrachtet) ist $\vec r_1 = [x \; , 0]^T$ Und $\vec r_2 = [x + l \sin \theta \; , -l \cos \theta]^T$ . Deshalb berechnen wir

Q_{1}^{P} = {\vec{F}}_{1} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{1}}{\partial X} + {\vec{F}}_{2} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{2}}{\partial X} = F_{X} (T)

$Q_1^p = \vec F_1 \cdot\frac{\partial \vec r_1}{\partial x} + \vec F_2 \cdot\frac{\partial \vec r_2}{\partial x} = F_x(t)$ Und

Q_{2}^{P} = {\vec{F}}_{1} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{1}}{\partial θ} + {\vec{F}}_{2} \cdot \frac{\partial {\vec{R}}_{2}}{\partial θ} = - F_{θ} (T) l Sünde θ .

$Q_2^p = \vec F_1 \cdot\frac{\partial \vec r_1}{\partial \theta} + \vec F_2 \cdot\frac{\partial \vec r_2}{\partial \theta} = -F_\theta(t) l \sin \theta .$

Schließlich sind die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = F_{X} (T)

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right )-\frac{\partial L}{\partial x}= F_x(t)$

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = - F_{θ} (T) l Sünde θ,

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}\right )-\frac{\partial L}{\partial \theta}=-F_\theta(t) l \sin \theta,$ Wo

L = T - v = \frac{M}{2} {“ \dot{{\vec{R}}_{1}} “}^{2} + \frac{M}{2} {“ \dot{{\vec{R}}_{2}} “}^{2} + M G l \cos θ .

$L = T - V = \frac{M}{2} \left\lVert\dot {\vec r_1}\right\rVert^2 + \frac{m}{2} \left\lVert\dot {\vec r_2}\right\rVert^2 + m g l \cos \theta .$

Danke schön. Könnten Sie bitte Ihre Antwort erweitern, um Ihr Verfahren auf mein Beispiel anzuwenden? Beachten Sie, dass $F_\theta(t)$ ist eine willkürliche Funktion der Zeit. Wenn es einfacher ist, ersetzen Sie es durch eine bekannte Funktion (z $F_\theta(t) = t \sin t$ )
@LGenzelis Es ist ganz einfach. Das überlasse ich Ihnen. Schreiben Sie den Kraftvektor und den Positionsvektor des Bobs und verwenden Sie Gl. (1). Die Summe enthält nur einen Term und die verallgemeinerte Koordinate ist $\theta$ .
vielen Dank. Ich habe Ihre Antwort bearbeitet, um die von Ihnen vorgeschlagene Methodik auf mein Beispielproblem anzuwenden. Sobald Sie die Änderungen akzeptiert haben, werde ich dies als akzeptierte Antwort markieren. Nur noch ein paar kurze Fragen zu Ihrer Antwort. 1) Wird dieser Ansatz auf jede Art von Gewalt anwendbar sein? Nehmen wir an, ich habe Kräfte, die von Geschwindigkeiten (wie Reibung) abhängen. Ist es so einfach, diese Kräfte in Gl. (1)? Und der letzte, 2) Sie haben in Ihrer Antwort "Wenn das Potential nicht von Geschwindigkeiten abhängt" geschrieben: Kann ein Potential jemals von Geschwindigkeiten abhängen? Ich habe so etwas noch nie gesehen.
1) Ja, es ist ein allgemeines Verfahren, das sogar für dissipative Kräfte gilt. Sie können beispielsweise nach der Dissipationsfunktion von Rayleigh googeln, was ein besonderes Beispiel ist. 2) Diese Potentiale werden normalerweise als verallgemeinertes Potential bezeichnet. Ein besonderes Beispiel ist ein Teilchen in Gegenwart eines elektromagnetischen Feldes. Sie können mehr über beide Fragen in Abschnitt 1.5 von Goldstein, dritte Ausgabe, erfahren.
Der Begriff $\alpha$ hängt mit den Freiheitsgraden des Systems zusammen, oder?

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