Kann eine Kraft in einem explizit zeitabhängigen klassischen System konservativ sein?

Question

Kann eine Kraft in einem explizit zeitabhängigen klassischen System konservativ sein?

Nikolaj-K

Betrachte ich aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung abgeleitete Bewegungsgleichungen für eine explizit zeitabhängige Lagrangefunktion

$δ S [L [Q (T), Q^{'} (T), T]] = 0,$ $\delta S[L[q(\text{t}),q'(\text{t}),{\bf t}]]=0,$

unter welchen Umständen (d.h. welchen expliziten funktionalen $t$ -Abhängigkeit) ist die Kraft konservativ?

Zwangsläufig verstehe ich hier den Term auf der rechten Seite der Gleichung, wenn ich alles bis auf den Ausdruck nach rechts schiebe $mq''(t)$ .

Als Randbemerkung würden mich neben der technischen Antwort hier einige Worte zu den beteiligten körperlichen Motivationen interessieren. Ich bin etwas unzufrieden mit einem Formalen $\text{curl}[F]=0$ Bedingung, da sie zu einfach zu erfüllen scheint (nämlich wir müssen geschlossene Kreise jeweils nur zu einzelnen Zeitpunkten betrachten). Die physikalische Motivation hinter konservativen Kräften ist die Energieerhaltung auf geschlossenen Pfaden, wo keine Parametrisierung stattfindet $q(s)$ von Kurven berücksichtigt werden. Aber praktisch sind nur in endlicher Zeit verfolgte Schleifen physikalisch realisierbar, dh wir würden uns im Kreis bewegen, während t sich ändert.

Ich denke, sobald man die rhs für die Bewegungsgleichungen berechnet, könnte man auch in diesem Fall eine physikalische Alternative zu der oben genannten Idee der konservativen Kräfte definieren. Dh ein Frage-ob-die-Kräfte-integrieren-zu-null-in-einem-geschlossenen-Loop-Funktional für einen Router zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ Und $t_2$ . Dies wäre ein Integral, bei dem die momentane Kraft entlang des Punktes auf dem Weg, den ich nehme, berücksichtigt würde. Es wäre natürlich nicht pfadunabhängig. (Wir könnten dann sogar ein weiteres Optimierungsproblem selbst konstruieren, indem wir nach dem Weg mit der kleinsten Energiedifferenz fragen, was wirklich eine vernünftige Frage wäre, wenn es um Reibung geht.)

Siyuan Ren

Verrotten? Du meinst Locken? Null Curl eines Feldes ist kaum eine leicht zu erfüllende Bedingung.

Nikolaj-K

@KarsusRen: Ich meine beides, aber ich hätte curl schreiben sollen, ja. Und es ist nicht "einfach", aber immer noch zu einfach, das ist der Punkt.

Emilio Pisanty

Warum identifizierst du die Kraft mit irgendetwas Gleichem?

m q^{″} (t)

$mq''(t)$ ? Selbst für "normale" Bedingungen schlägt dies fehl - denken Sie an die Einnahme

q

$q$ als Winkelvariable (so

m q^{″}

$mq''$ ist maßlich falsch). Gewalt sollte dann nicht als etwas Gleichwertiges angesehen werden

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ?

Emilio Pisanty

Abgesehen davon, was genau meinen Sie mit konservativen Kräften? Ich vermute, du meinst ein Kriterium an

\frac{\partial L}{\partial q}

$\frac{\partial L}{\partial q}$ so dass

H = p \dot{q} - L

$H=p\dot{q}-L$ ist ein Integral der Bewegung, unabhängig von jeglicher Zeitabhängigkeit, aber das ist einfach nicht realistisch - denken Sie daran, einem ansonsten zeitunabhängigen, konservativen System ein zeitvariables, aber räumlich konstantes Potential hinzuzufügen.

Nikolaj-K

@episanty: Ja, könnte sein. Ich bin mir nicht einmal sicher, ob

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q^{'}}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{q'}}$ ist eine bessere Definition, ich weiß es nicht. Der Lagrange-Ansatz zeigt Kraft nicht so offensichtlich wie der Newton-Ansatz oder Energie so klar wie der Hamilton-Ansatz. Und was heißt hier nicht realistisch? Die Aufgabe besteht darin, die Fälle herauszufinden, in denen es funktioniert, denke ich.

Emilio Pisanty

@NickKidman: Ich würde mich an Newtons zweites Gesetz halten und nehmen

F = \dot{p}

$F=\dot{p}$ , Dann. Man muss nur vorsichtig sein, dass Spurweitenänderungen (dh gleichwertige Lagrangianer) vorgenommen werden können

p

$p$ verschiedene Dinge bedeuten und daher Begriffe neu verteilen

F = \dot{p}

$F=\dot{p}$ , setzen "

F

$F$ „Dinge hinein

\dot{p}

$\dot{p}$ und umgekehrt.

Ron Maimon

Meinen Sie konservativ in Bezug auf jede mögliche externe Antriebszugabe? Das ist in der Regel gemeint. Es gibt keine zeitabhängigen konservativen Kräfte, und dazu gehören auch die galiläischen Verstärkungen konservativer Felder (Sie können Energie aus der Bewegung der klassischen Quelle gewinnen).

Antworten (2)

Kann eine Kraft in einem explizit zeitabhängigen klassischen System konservativ sein?

Verrotten? Du meinst Locken? Null Curl eines Feldes ist kaum eine leicht zu erfüllende Bedingung.
@KarsusRen: Ich meine beides, aber ich hätte curl schreiben sollen, ja. Und es ist nicht "einfach", aber immer noch zu einfach, das ist der Punkt.
Warum identifizierst du die Kraft mit irgendetwas Gleichem? $mq''(t)$ ? Selbst für "normale" Bedingungen schlägt dies fehl - denken Sie an die Einnahme $q$ als Winkelvariable (so $mq''$ ist maßlich falsch). Gewalt sollte dann nicht als etwas Gleichwertiges angesehen werden $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ?
Abgesehen davon, was genau meinen Sie mit konservativen Kräften? Ich vermute, du meinst ein Kriterium an $\frac{\partial L}{\partial q}$ so dass $H=p\dot{q}-L$ ist ein Integral der Bewegung, unabhängig von jeglicher Zeitabhängigkeit, aber das ist einfach nicht realistisch - denken Sie daran, einem ansonsten zeitunabhängigen, konservativen System ein zeitvariables, aber räumlich konstantes Potential hinzuzufügen.
@episanty: Ja, könnte sein. Ich bin mir nicht einmal sicher, ob $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{q'}}$ ist eine bessere Definition, ich weiß es nicht. Der Lagrange-Ansatz zeigt Kraft nicht so offensichtlich wie der Newton-Ansatz oder Energie so klar wie der Hamilton-Ansatz. Und was heißt hier nicht realistisch? Die Aufgabe besteht darin, die Fälle herauszufinden, in denen es funktioniert, denke ich.
@NickKidman: Ich würde mich an Newtons zweites Gesetz halten und nehmen $F=\dot{p}$ , Dann. Man muss nur vorsichtig sein, dass Spurweitenänderungen (dh gleichwertige Lagrangianer) vorgenommen werden können $p$ verschiedene Dinge bedeuten und daher Begriffe neu verteilen $F=\dot{p}$ , setzen " $F$ „Dinge hinein $\dot{p}$ und umgekehrt.
Meinen Sie konservativ in Bezug auf jede mögliche externe Antriebszugabe? Das ist in der Regel gemeint. Es gibt keine zeitabhängigen konservativen Kräfte, und dazu gehören auch die galiläischen Verstärkungen konservativer Felder (Sie können Energie aus der Bewegung der klassischen Quelle gewinnen).

Shaktyai · Answer 1

Wenn die Kraft zeitabhängig ist, haben Sie keine Energieerhaltung:

M \frac{D v}{D T} = F (T)

$m \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}= F(t)$

D (\frac{1}{2} M v^{2}) = F v D T = F D X

$\mathrm d\left(\frac{1}{2}mV^2\right)=F V~\mathrm dt=F~\mathrm dx$

Für ein zeitabhängiges Potential:

D U = G R A D (U (T)) D X + \frac{\partial U}{\partial T} D T

$\mathrm dU=\mathbb{grad}(U(t))~\mathrm dx + \frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

Aber

F = - G R A D (U (T)) ⟹ F D X = - G R A D (U (T)) D X = - D U + \frac{\partial U}{\partial T} D T

$F=-\mathbb{grad}(U(t)) \implies F~\mathrm dx=-\mathbb{grad}(U(t))~\mathrm dx =-\mathrm dU+\frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

Sie erhalten also:

D (\frac{1}{2} M v^{2} + U (T)) = \frac{\partial U}{\partial T} D T

$\mathrm d\left(\frac{1}{2}mV^2+U(t)\right)=\frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

Die Energie ist genau dann erhalten, wenn $U$ ist zeitunabhängig.

Vielen Dank an Nick für die Bearbeitung meines Beitrags. Ich bin zu beschäftigt, um die Tex-Mathematik herauszufinden.
Die Gemeinschaftsnorm ist die Verwendung von TeX. Niemand sonst ist dafür „zu beschäftigt“, und StackExchange macht es sehr einfach.

Ron Maimon · Answer 2

Jede zeitabhängige Kraft ist nicht konservativ, da Sie das Teilchen zu einem Zeitpunkt, an dem die Kraft groß ist, von Punkt A zu einem nahe gelegenen Punkt B bringen können, indem Sie ein Hebelsystem verwenden, um die Arbeit an eine andere Stelle zu übertragen, dann das Teilchen festhalten und warten die Kraft, sich zu ändern, und bringt das Teilchen zu A zurück.

Der Begriff der konservativen Kraft ist einer, der für jede zusätzliche auferlegte Einschränkung konservativ ist , für jedes System von Wänden und Rollen, das Sie einführen, und nicht einer, der nur im Spezialfall der Lösungen der Bewegungsgleichung Energie spart.

EDIT: Was ist konservativ mit Einschränkungen

Das Constraint-Geschäft versucht zu sagen, dass die Energieerhaltung in einem System mit Kräften mehr ist als die Aussage, dass die Energie für die Bewegungsgleichungen erhalten bleibt. Wenn Sie beispielsweise ein Teilchen haben, das unter der Schwerkraft fällt, oder ein Teilchen, das auf einer Plattform sitzt, die sich unter der Schwerkraft langsam nach unten bewegt, ist die an dem Teilchen verrichtete Arbeit in beiden Fällen gleich, aber im zweiten Fall wird die gesamte Energie übertragen zur Plattform, und Sie müssen die zusätzliche Plattformenergie und was auch immer die Plattform hält, berücksichtigen.

Wenn wir sagen, dass eine Kraft konservativ ist, meinen wir, dass diese Kraft konservativ ist, wenn Sie eine beliebige Plattform hinzufügen und der Kraft erlauben, langsam zu drücken. Wenn ich mir zum Beispiel vorstelle, dass ein Teilchen fällt und die Schwerkraft nur mit einem Wert ungleich Null in der Nähe der Falllinie des Teilchens wirkt, spart die Kraft während des Falls Energie. Aber wenn Sie das Teilchen auf einer Plattform absenken, es auf der Plattform ein wenig hinüberbewegen und dann das Teilchen dort anheben, wo die Schwerkraft nicht wirkt, erhalten Sie einen energiesparenden Zyklus. Die Energieerhaltungsaussage bezieht sich auf jede erdenkliche physikalische Situation, die Sie einrichten können, und beinhaltet die Plattformbeschränkungskräfte, die verhindern, dass das Teilchen in die Plattform fällt.

Das Ergebnis ist, dass, wenn die Kraft auf das Teilchen der Gradient eines Potentials ist, alle Plattformen und Pullies, die Sie hinzufügen, nicht verwendet werden können, um Energie auf unbestimmte Zeit aus dem Kraftfeld zu extrahieren, denn selbst wenn Sie das Teilchen in eine geschlossene Schleife bringen in Gegenwart von Beschränkungen ist die Gesamtarbeit null.

Eine konservative Kraft ist eine Kraft, die als Gradient einer Potentialfunktion geschrieben werden kann, wie sie in Standard-Physikbüchern gelehrt wird. Es wäre hilfreich, wenn Sie Ihren zweiten Absatz erweitern könnten, da er für mich keinen Sinn ergibt.

Kann eine Kraft in einem explizit zeitabhängigen klassischen System konservativ sein?

Nikolaj-K

Siyuan Ren

Nikolaj-K

Emilio Pisanty

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Ron Maimon

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