Energieerhaltung, wenn der Lagrange-Operator eine Potentialfunktion enthält

Beim Beweis, dass die Homogenität der Zeit zur Erhaltung der Energie führt,

(Dies ist der Beweis von Landau für den Fall, dass kein Feld vorhanden ist.)

(Verwendet die Summationskonvention von Einstein)

$$\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \ddot{q_i} + \frac{\partial L}{\partial t}$$

Aber,$\partial L / \partial t = 0$unter der Annahme der Homogenität der Zeit und so,

$$\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q_i}$$

Unter Verwendung der Lagrange-Euler-Gleichung (Summierung über alle möglichen$i$'S)

$$\frac{\partial L}{ \partial q_i} = \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \Big)$$ und so, $$\frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \Big) \dot{q_i}$$

$$0 = \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \dot{q_i} - L\Big)$$

was gibt,

$$\frac{d(E)}{dt} = 0$$

Eine oben nicht erwähnte Annahme, die ich für wichtig halte, ist die$\ddot{q_i} = 0$was Sinn macht, weil ein Teilchen in Ermangelung eines Feldes nicht beschleunigt wird, was wiederum auf die Aussage zurückgeht$L$nicht zeitabhängig wie damals$\dot{q_i}$wäre konstant und so$L = T - U = T-0 = T$Wo$T$ist eine quadratische Funktion von$\dot{q_i}$was eine Konstante ist, würde zu dem oben gezeigten Beweis führen.

Allerdings, wenn es ein Feld gibt$U = U(q_i)$vorhanden, auch wenn es konstant ist und nicht von der Zeit abhängt, ich bin mir nicht sicher, wie$L$sollte auch zeitunabhängig sein. Denn jetzt, da ein Feld vorhanden ist,$\dot{q}$würde von der Zeit abhängen und so$\ddot{q} \not = 0$und so bin ich verwirrt, wie ich mit dem Beweis fortfahren soll. Die Situation wird durch die Tatsache weiter verkompliziert, dass weil$L$kommt drauf an$\dot{q}$und weil$\dot{q}$hängt von der Zeit ab,$L$sollte von der Zeit abhängen und so die Annahme, dass$\partial L / \partial t = 0$würde nicht stimmen.

Irgendwelche Hinweise wären wirklich dankbar.