Warum können wir bei einem Lagrange nicht die kinetische Energie durch die Gesamtenergie minus der potentiellen Energie ersetzen?

TL;DR: Warum können wir nicht schreiben L = E − 2 v Wo E = T + v = Gesamtenergie?

Betrachten wir den Fall eines Teilchens in einem Gravitationsfeld ausgehend von der Ruhe.

Zunächst kinetische Energie T Ist z e R Ö und potentielle Energie v Ist M G H .

Jederzeit T , Kinetische Energie T = M X ˙ 2 2 und potentielle Energie v Ist M G X .

L = T − v = M X ˙ 2 2 − M G X .

Wenn wir schreiben T = M G H − M G X , der Lagrange wird L = T − v = M G H − 2 M G X was unabhängig ist von X ˙ . Hier D D T ∂ L ∂ X ˙ = 0 während ∂ L ∂ X = − 2 M G .

Warum funktioniert diese einfache Formänderung von Lagrange nicht?

Ich verstehe, dass dieses Formular nicht hat X ˙ aber was ist der tiefere Grund dafür, dass das nicht funktioniert?

Woher weiß ich, dass meine Lagrange-Funktion korrekt ist (für beliebige Probleme)?

Antworten (3)

OP fragt im Wesentlichen:

Warum können wir den Lagrange nicht ersetzen L = T − v mit L = E − 2 v durch Nutzung der Energieeinsparung T + v = E , Wo E ist eine Integrationskonstante?

Antwort: Generell wird ein Aktionsprinzip zerstört, wenn wir EOMs in der Aktion anwenden.

Insbesondere verwendete OP Energieeinsparung T + v = E , die aus EOMs abgeleitet wurden. Hier ist es wichtig zu verstehen, dass das stationäre Wirkungsprinzip für alle (hinreichend glatten) Bahnen definiert werden muss. Nicht nur die klassischen Trajektorien, die die EOMs erfüllen. Beachten Sie insbesondere, dass die Off-Shell- /virtuellen Pfade nicht erforderlich sind, um der Energieeinsparung zu gehorchen.

Alternativ ist es einfach, den von OP vorgeschlagenen Lagrange zu überprüfen L = E − 2 v würde zu falschen EOMs führen.

Beispiele finden Sie in diesem und diesem verwandten Phys.SE-Posts.

Es versteht sich, dass die kinetische Energie und die potenzielle Energie für jede gültige Konfiguration des Systems gültig sein müssen und nicht nur für die betrachtete Konfiguration.
In diesem Zusammenhang kann man sich natürlich winden L = E − 2 v . Sie mögen argumentieren, dass diese Definition der Lagrange-Funktion nicht sehr nützlich ist, weil sie etwas kreisförmig ist. Aber es führt zum richtigen Ergebnis, wenn es richtig gemacht wird (siehe meine Antwort)
Ich habe die Antwort aktualisiert.

Natürlich darfst du schreiben L = E − 2 v , aber Sie müssen vorsichtig sein, was die Gesamtenergie ist E vom System. Im Ausdruck der Lagrange-Funktion werden die kinetische, potentielle und Gesamtenergie als augenblicklich definiert betrachtet. Die Gesamtenergie ist

E = 1 2 M X ˙ 2 + M G X

Das hast du stattdessen geschrieben E = M G H . Dies ist nicht die momentane Gesamtenergie, sondern die anfängliche Gesamtenergie.

Danke für die Antwort. T = M G H − M G X ist immer noch augenblickliche kinetische Energie. Oder übersehe ich etwas?
Nein ist es nicht. Die intstaneus Energie ist M X ˙ / 2
Meinst du "eine willkürliche Konfiguration" statt "sofort"? Weil augenblickliche kinetische Energie T = M X ˙ 2 2 = M G H − M G X .
Für eine beliebige Konfiguration T = M X ˙ 2 2 stimmt aber T = M G H ist nicht.
Korrektur: „aber T = M G H − M G X ist nicht."

Bei der Ableitung der Bewegungsgleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung werden Position und Geschwindigkeit als unabhängige Variablen betrachtet

Danke für die Antwort. Ich könnte die Gleichung noch so umschreiben, dass sie enthält X ˙ Und X . Woher weiß ich, welcher Ausdruck für kinetische Energie und potentielle Energie richtig ist?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgen kann. Ke ist der übliche Ausdruck. Vergessen Sie auch in Ihrem ersten Beitrag nicht, dass z. B. die partielle Ableitung von L in Bezug auf die Position eine Konstanthaltung der Geschwindigkeit bedeutet (wie ändert sich L, wenn sich die Position ändert, während die Geschwindigkeit konstant bleibt). Da Sie Position und Geschwindigkeit voneinander abhängig gemacht haben, werden die partiellen Ableitungen wohl nicht überprüft. Ich bin aber kein Experte!
Warum können wir bei einem Lagrange nicht die kinetische Energie durch die Gesamtenergie minus der potentiellen Energie ersetzen?
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