Kann die Energieerhaltungsgleichung als Bewegungsgleichung angesehen werden?

Question

Kann die Energieerhaltungsgleichung als Bewegungsgleichung angesehen werden?

Benutzer291161

Schließlich ist die Energieerhaltungsgleichung eine Differentialgleichung, die gelöst werden kann, um die Bewegung zu finden, aber dies wird nie getan. Als Bewegungsgleichung wird immer nur die zeitliche Ableitung der Energieerhaltungsgleichung betrachtet. Warum? Es ist einfacher? Betrachten wir zum Beispiel das Feder-Masse-System. ich kann schreiben

E = \frac{1}{2} M [X^{'} (T)]^{2} + \frac{1}{2} k [X (T) - \bar{X}]^{2}

$E= \frac{1}{2} m [x'(t)]^2 + \frac{1}{2} k [ x(t) - \bar{X}]^2$ Dies ist eine Differentialgleichung, die durch gelöst wird

X (T) = \bar{X} + \sqrt{\frac{2 E}{k}} Sünde ({Sünde}^{- 1} ((X_{0} - \bar{X}) \sqrt{\frac{k}{2 E}}) + \sqrt{\frac{k}{M}} T)

$x(t) = \bar{X} + \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin \left( \sin^{-1} \left( (x_0 - \bar{X}) \sqrt{\frac{k}{2E}} \right) +\sqrt{\frac{k}{m}} t \right)$ Wir haben nicht die Position als Funktion von

x_{0}

$x_0$ Und

v_{0}

$v_0$ , sondern in Abhängigkeit von

x_{0}

$x_0$ Und

E

$E$ , es ist das Gleiche.

Um allgemeiner zu sein, bedenken Sie $E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + U$ . Wenn ich die Zeitableitung mache, wenn $\dot{x} \neq 0$ und ausbeuten $F=-\frac{dU}{dx}$ ich kann schreiben $m \ddot{x} = F$ . Auch das Umgekehrte ist möglich: die $m \ddot{x} = F$ kann geschrieben werden $m \frac{dv}{dt} + \frac{dU}{dx} = 0$ . Integration haben wir $m\int v dv + U =$ konstant: anrufen $E$ die Konstante und die Arbeit ist erledigt. Sind die Energieerhaltungsgleichung und die Bewegungsgleichung im Wesentlichen äquivalent oder gibt es einen Grund, die Erhaltungsgleichung nicht als Bewegungsgleichung zu verwenden?

Irgendein Benutzer

Was meinst du mit "nie fertig"? Das Schreiben der Energieerhaltung, das Trennen von Variablen und das Integrieren ist, wie ich meistens gesehen habe, die Lösung des Kepler-Problems, um nur ein kanonisches Beispiel zu geben. Die Energieerhaltung ist eine Bewegungsgleichung, weil sie es Ihnen ermöglicht, die Bewegung des Systems abzuleiten. Wenn Sie mehr Freiheitsgrade haben, benötigen Sie natürlich andere Gleichungen.

Triatticus

Das ist im Grunde die Wurzel des Hamiltonschen Formalismus, der die Gesamtenergie eines Systems verwendet, um die Bewegungsgleichungen zu finden.

Eli

bei Erhaltung der Energie erhält man die Bewegungsgleichung mit

\frac{d E}{d t} = 0

$\dfrac{dE}{dt}=0$

Antworten (4)

Kann die Energieerhaltungsgleichung als Bewegungsgleichung angesehen werden?

Was meinst du mit "nie fertig"? Das Schreiben der Energieerhaltung, das Trennen von Variablen und das Integrieren ist, wie ich meistens gesehen habe, die Lösung des Kepler-Problems, um nur ein kanonisches Beispiel zu geben. Die Energieerhaltung ist eine Bewegungsgleichung, weil sie es Ihnen ermöglicht, die Bewegung des Systems abzuleiten. Wenn Sie mehr Freiheitsgrade haben, benötigen Sie natürlich andere Gleichungen.
Das ist im Grunde die Wurzel des Hamiltonschen Formalismus, der die Gesamtenergie eines Systems verwendet, um die Bewegungsgleichungen zu finden.
bei Erhaltung der Energie erhält man die Bewegungsgleichung mit $\dfrac{dE}{dt}=0$

Benutzer256872 · Answer 1

Sie haben Recht, dass die Energieerhaltung uns Bewegungsgleichungen liefert.

Beachten Sie jedoch jedes Mal, wenn dies funktioniert, dass Sie einige Einschränkungen auferlegen. In Ihrem Fall haben Sie auferlegt, dass die Bewegung eindimensional ist. Beachten Sie, dass die Energieerhaltung 1 Gleichung ergibt. Aber manchmal brauchen wir ein System von Differentialgleichungen. Stellen Sie sich zum Beispiel einen Block auf einer reibungslosen Steigung auf einem reibungslosen Boden vor. Sowohl der Block als auch die Steigung werden sich bewegen, daher ist eine Gleichung nicht ausreichend.

Die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems ist eigentlich der Hamiltonoperator, $\mathcal H = T+U$ , und Sie können die Bewegungsgleichungen mithilfe der Hamiltonschen Mechanik finden .

Benutzer297187 · Answer 2

Ja, Energieerhaltungsgleichungen und das zweite Newtonsche Gesetz können im Wesentlichen beide gelöst werden, um die Bewegungsgleichungen für Systeme zu erhalten, in denen die beteiligten Kräfte alle konservative Kräfte sind. (Dies ist dasselbe wie die Forderung, dass eine potentielle Energie definiert werden kann.) Ein Beispiel für eine nicht-konservative Kraft ist die Reibungskraft.

Wie Sie festgestellt haben, können Sie die Bewegungsgleichungen in Bezug auf eine Vielzahl unterschiedlicher Anfangsbedingungen umschreiben, und für jedes bestimmte Problem wird dies normalerweise so gemacht, dass die Gleichungen am „intuitivsten“ aussehen – was je nach Problem unterschiedlich ist zum Problem, und ehrlich von Person zu Person. Welche Gleichung einfacher zu lösen ist, um die Bewegungsgleichung zu erhalten, ist wiederum von Problem zu Problem unterschiedlich.

Benutzer1379857 · Answer 3

Die Energieerhaltung allein kann nur verwendet werden, um die Bewegung eines Teilchens in einer Raumdimension zu lösen. Wenn Sie mehr räumliche Dimensionen haben, wissen Sie $\tfrac{1}{2} m v^2$ sagt Ihnen nicht unbedingt die Richtung $\vec{v}$ . Beim Kepler-Problem müssen Sie tatsächlich andere Symmetrien verwenden, um dies herauszufinden. Sie beschränken sich zunächst auf eine 2D-Ebene und verwenden dann auch die Erhaltung des Drehimpulses, um sie festzulegen $\vec{v}$ . Beim Kepler-Problem (elliptische Bahnbewegung) konnten wir die Bewegung also nur auf diese Weise lösen, weil wir ebenso viele Erhaltungsgrößen (Energie und Drehimpuls) wie Dimensionen hatten. Anders gesagt, das Kepler-Problem ist „integrierbar“, dh es hat genügend Erhaltungsgrößen, um die Bewegung leicht zu lösen. In 1D ist alles integrierbar. Allerdings für höhere Dimensionen und beliebige Potentiale $V(\vec{x})$ dies wird nicht der Fall sein.

Mark_Bell · Answer 4

Um zusammenzufassen, was der OP sagt. Nehmen $E(x, \dot{x}, t)$ , die Energie in allgemeiner Abhängigkeit von Ort, Geschwindigkeit und Zeit. Wenn wir die Gesamtableitung nach der Zeit nehmen:

\begin{matrix} (1) & \frac{D E}{D T} = \frac{\partial E}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial E}{\partial \dot{X}} \ddot{X} + \frac{\partial E}{\partial T} \end{matrix}

$\frac{dE}{dt} = \frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} + \frac{\partial E}{\partial t} \tag{1}$ Wenn das System konservativ ist und die Energie nicht explizit von der Zeit abhängt, haben wir:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial E}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial E}{\partial \dot{X}} \ddot{X} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial E}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial E}{\partial \dot{x}} \ddot{x} = 0 \tag{2}$ Sie können die Energie im Fall einer konservativen Kraft als Summe aus kinetischer Energie, quadratisch in der Geschwindigkeit und potentieller Energie schreiben.

\begin{matrix} (3) & E = E_{k ich N} ({\dot{X}}^{2}) + U (X) \end{matrix}

$E = E_{kin}(\dot{x}^2) + U(x) \tag{3}$ Mit (2) und (3):

\begin{matrix} (4) & M \dot{X} \ddot{X} + \frac{\partial U}{\partial X} \dot{X} = 0 \end{matrix}

$m\dot{x}\ddot{x} + \frac{\partial U}{\partial x}\dot{x} = 0 \tag{4}$ Nehmen

\dot{x}

$\dot{x}$ ungleich Null, und dividiere dafür.

\begin{matrix} (5) & M \ddot{X} = - \frac{\partial U}{\partial X} \end{matrix}

$m\ddot{x} = - \frac{\partial U}{\partial x} \tag{5}$ Das ist genau die Bewegungsgleichung in 1-D für konservative Kraft, wobei Sie die Kraft aus dem Gradienten (in 1-D, einfache Ableitung) einer Funktion namens potentielle Energie erhalten können.

Wenn Energie ein erstes Integral und ein eindimensionales Problem ist, kennen wir alle Informationen, die wir wissen müssen. Wenn die Energie eine Bewegungskonstante ist, die entlang der Bahn konstant ist, dann ist die Energiekonstanz eine Einschränkung, die es ermöglicht, die Lösungen zu schreiben. All dieses Reden ähnelt der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik.

Kann die Energieerhaltungsgleichung als Bewegungsgleichung angesehen werden?

Benutzer291161

Irgendein Benutzer

Triatticus

Eli

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Benutzer256872

Benutzer297187

Benutzer1379857

Mark_Bell

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