Ableitungen höherer Ordnung - Bewegungsgleichung

I) Über ein Handlungsprinzip $S=\int\!dt~ L$, nehmen wir an, dass die Lagrange-Funktion von der Form ist

$$\tag{1} L~=~T-U,$$

Wo$T$ist der kinetische Begriff, und$U({\bf r},\dot{\bf r}, \ddot{\bf r},\dddot{\bf r}, \ldots;t)$ist ein verallgemeinertes Potential, das wir finden möchten. Das verallgemeinerte Potenzial$U$befriedigen soll

$$\tag{2} {\bf F}~=~-\frac{\partial U}{\partial {\bf r}} +\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot{\bf r}} -\frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial U}{\partial \ddot{\bf r}} +\frac{d^3}{dt^3}\frac{\partial U}{\partial \dddot{\bf r}} - \ldots,$$

Wo${\bf F}({\bf r},\dot{\bf r}, \ddot{\bf r}, \dddot{\bf r}, \ldots;t)$ist eine gegebene Gesamtkraft auf das Punktteilchen.

II) Betrachten wir zum Spaß eine Kraft proportional zu der$n$'te zeitliche Ableitung der Position

$$\tag{3} {\bf F}~=~-k \frac{d^n{\bf r}}{dt^n}$$

für jede nicht negative ganze Zahl$n\in\mathbb{N}_0$. Für eine gerade ganze Zahl$n$, können wir das verallgemeinerte Potential verwenden

$$\tag{4} U~=~ (-1)^{\frac{n}{2}}\frac{k}{2} \left(\frac{d^{\frac{n}{2}}{\bf r}}{dt^{\frac{n}{2}}} \right)^2.$$

Der Fall$n=0$einer der Position proportionalen Kraft

$$\tag{5} {\bf F}~=~-k {\bf r}, \qquad U ~=~\frac{k}{2}{\bf r}^2, \qquad k~>~0,$$ ist das bekannte Hookesche Gesetz/der harmonische Oszillator.

Der Fall$n=2$einer aufgebrachten Kraft proportional zur Beschleunigung

$$\tag{6} {\bf F}~=~-k \ddot{\bf r}, \qquad U ~=~-\frac{k}{2}\dot{\bf r}^2, \qquad$$ verhält sich wie ein (nicht-relativistischer) kinetischer Term.

Der Fall$n=1$einer der Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft

$$\tag{7} {\bf F}~=~-k \dot{\bf r}, \qquad k~>~0,$$

wird zB in diesem Phys.SE-Beitrag und diesem Mathoverflow-Beitrag diskutiert. Allgemeiner kann man mit sehr ähnlichen Methoden wie in diesen beiden Beiträgen zeigen, dass es unmöglich ist, ein verallgemeinertes Potenzial zuzuordnen$U$zur Kraft (3) für jede ungerade positive ganze Zahl$n$. Also insbesondere der Fall$n=3$, die Abraham-Lorentz-Kraft $^1$proportional zum Ruck

$$\tag{8} {\bf F}~=~-k \dddot{\bf r}\qquad k~<~0,$$

hat kein verallgemeinertes Potenzial$U$.

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$^1$Siehe jedoch auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Die Euler-Lagrange-Gleichung für eine Lagrange-Funktion höherer Ordnung$L=L(q,\dot q,\ddot q,\dots\,q^{(n)})$liest

$$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q} + \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\frac{\partial L}{\partial\ddot q} - \dots + (-1)^n \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dt^n}\frac{\partial L}{\partial q^{(n)}} + Q = 0$$ Wo $Q$beschreibt die verallgemeinerten Kräfte, die nicht aus der Lagrangefunktion abgeleitet werden, zB Zwangskräfte mit Lagrange-Multiplikatoren oder Reibung.

In einigen Fällen ist es möglich, diese Kräfte aus einer Dissipationsfunktion abzuleiten$R=R(\dot q)$über

$$Q=-\frac{\partial R}{\partial\dot q}$$ Ich sehe keinen Grund, Abhängigkeiten nicht auch von höheren Derivaten einzuführen, aber ich habe keine Nachforschungen zu diesem Thema angestellt.

Die Antwort von Christoph ist sicherlich richtig, ich möchte nur ein paar Dinge hinzufügen:

Zur Frage nach höheren Derivaten gibt es diese Antwort von vor einigen Jahren. Wie Sie sehen, gibt es kein mathematisches Problem mit Lagrangianern, die höhere Ableitungen beinhalten, wenn wir einfach klassisch bleiben, wenn Sie eine Energie akzeptieren können, die nicht nach unten begrenzt ist. In Quantentheorien entstehen dadurch jedoch völlig instabile Systeme, die sicherlich keine gute Beschreibung der Natur sind. (Trotzdem hindert Sie in einer effektiven (dh nicht fundamentalen) Theorie nichts daran, diese Probleme zu ignorieren).

Dass einige Reibungsterme aus Dissipationsfunktionen erhalten werden können$R(\dot{q})$ist auch richtig, aber das tötet das Prinzip der kleinsten Wirkung, da die Bewegungsgleichungen nicht mehr die Euler-Lagrange-Gleichungen sind, sondern den hinzugefügten Term haben${\partial R} \over {\partial \dot{q}}$. Der konzeptionelle Grund ist, dass disspative Kräfte nicht konservativ sind, also nicht aus einem Potential kommen können, und so die Lagrange-Funktion als$T - V$kann sie nicht herstellen. Mit ein wenig mehr Rechenarbeit scheint es jedoch möglich, einen Lagrange-Operator aufzuschreiben, der die Bewegungsgleichung korrekt als seine Euler-Lagrange-Gleichungen erzeugt, wie es in diesem Artikel getan wird, aber dies geht mit dem Verlust der Interpretation unserer Lagrange-Operatoren und einher Hamiltonoperatoren als einfache Funktionen der kinetischen und potentiellen Energie.