Ist die Einstein-Hilbert-Aktion die einzige Aktion, deren Variation Einsteins Feldgleichungen ergibt?

In gewisser Hinsicht ja, in anderer Hinsicht sicherlich nicht.

Die Tatsache, dass in den Einstein-Feldgleichungen:$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}$, haben Sie völlige 'Freiheit' zu definieren$T_{\mu \nu}$Wie auch immer Sie möchten (mit einigen Ausnahmen), bedeutet, dass Sie zulassen können, dass höchst nicht triviale krümmungsabhängige Terme mit der Spannungsenergie gekoppelt werden. Sehen Sie sich diesen wirklich interessanten Artikel von Capozziello et al. ( http://arxiv.org/abs/grqc/0703067 ) an, der zeigt, wie Sie die zusätzlichen Krümmungsterme für an „ bündeln“ können$f(R)$Gravitation in den 'effektiven' Stress-Energie-Tensor. Auf diese Weise gilt die Eindeutigkeit dessen, was Sie die „Einstein“-Feldgleichungen nennen können, nicht.

Sobald man sich jedoch ins Vakuum begibt, ist die Antwort plötzlich ein endgültiges Ja. Die Einstein-Gleichungen werden durch eine Aktion erzeugt, die eine geometrisch invariante Größe enthält. Andernfalls würden die Prinzipien der allgemeinen Kovarianz nicht mehr gelten, da willkürliche Koordinatentransformationen zwangsläufig die Eichsymmetrien zerstören würden. Nun, davon abgesehen, kann man den allgemeinstmöglichen geometrisch invarianten Lagrange in diesem Sinne betrachten, er würde ungefähr so ​​​​aussehen.$\mathcal{L} = f(g_{\mu \nu} R^{\mu \nu}, R^{\mu \nu} R_{\mu \nu}, R^{\alpha \beta \gamma \delta} R_{\alpha \beta \gamma \delta}, C^{\alpha \beta \gamma \delta} C_{\alpha \beta \gamma \delta}, g^{\mu \nu} R^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta \mu \nu}...)$und die Liste der Möglichkeiten geht weiter. Da Sie die Einstein-Gleichungen in sich replizieren möchten, können Sie alle außer den linearen Termen im obigen sofort wegwerfen. Jede der anderen Varianten, wenn Sie die Variationsrechnung durchführen, ergibt Ableitungen höherer Ordnung als zweiter Ordnung.

Wenn Sie nun nur die linearen Terme beibehalten, sehen Sie, dass die Wirkung notwendigerweise die von Einstein-Hilbert plus (vielleicht) einige andere Krümmungsinvarianten sein wird. Da diese nicht verschwinden, wenn Sie die Variation durchführen, es sei denn, sie verschwinden entweder identisch oder verschwinden an der Grenze als Divergenzterm, werden Ihre Feldgleichungen notwendigerweise immer noch die Einstein-Hilbert-Gleichungen sein, vorausgesetzt, Sie behalten sie nur bei$\mathcal{L} = R^{\sigma}_{\sigma}$.

Ein rigoroser Beweis dafür wäre interessant. Aus der Literatur ist mir nichts bekannt.

Der sogenannte Spininhalt von GR in Bezug auf die eingeschränkte Lorentzgruppe besteht aus Gewicht (auch Spin genannt) = 2 Tensorfelder, die als linearisiertes Gravitationsfeld von Einstein und Fierz-Pauli angesehen werden können ( dies wird auch als bezeichnet das Pauli-Fierz-Feld, nach den Artikeln von Pauli und Fierz von 1939 in Helv. Phys. Acta und PRSL ). Im Jahr 2000 wird hier http://arxiv.org/abs/hep-th/0007220 (als Sonderfall) unter Verwendung der BRST-Störungstheorie (Antifeld) gezeigt, dass der kubische Scheitelpunkt der Single-Graviton-Theorie einzigartig ist, daher der einzige Art und Weise, wie Gravitonen sich selbst koppeln können, ist die EH-Aktion + der kosmologische Begriff.

Zu Punkt 2 Ihres Beitrags: Grenzterme in gekrümmter Raumzeit sind ein äußerst heikles Thema, und es muss eine sorgfältige Analyse durchgeführt werden. Sie sind eingeladen, den entsprechenden Abschnitt von Walds GR-Test zu lesen.

Eine weitere nützliche Lektüre wäre das gesamte Buch und insbesondere das Kapitel 8 von http://www.amazon.com/Tensors-Differential-Variational-Principles-Mathematics/dp/0486658406/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1392672388&sr=8- 1&keywords=Lovelock+Tensoren

Sie können auch Terme hinzufügen, die die Nichtmetrik und Torsion der Verbindung berücksichtigen, und diese Terme dann durch explizite Einschränkungen auf Null beschränken.