Krümmung der Raumzeit und das Äquivalenzprinzip

Unter Annahme des Einsteinschen Äquivalenzprinzips , formuliert wie folgt:

Das Ergebnis jedes lokalen Nicht-Gravitations-Experiments in einem frei fallenden Labor ist unabhängig von der Geschwindigkeit des Labors und seiner Position in der Raumzeit.

Wenn nun die Krümmung der Raumzeit eine Invariante ist, sollte dies nicht gegen das EEP (Einstein-Äquivalenzprinzip) verstoßen?

Schließlich ist ein Ball, der aufgrund der Schwerkraft der Erde auf den Boden fällt, und derselbe Ball, der in einem beschleunigenden Raumschiff auf den Boden fällt, genau die gleiche Situation – außer dass die eine die Raumkrümmung beinhaltet und die andere nicht.

Wenn die Krümmung des Raums unveränderlich ist, könnte man die notwendigen Größen messen, die Krümmung berechnen und daraus schließen, dass die beiden Situationen tatsächlich nicht gleich sind. Dies würde sicherlich dem EEP widersprechen.

Damit das EEP Bestand hat, muss meine Argumentation offensichtlich falsch sein. Kann mir jemand aufklären?

Der Haken an diesem Satz ist das Wort „lokal“. Es gibt einige Auswirkungen der Schwerkraft, die dieses Prinzip "verletzen" - wie etwa Gezeitenkräfte -, aber alle Beispiele, die ich je gesehen habe, sind nicht lokal. Um die Krümmung zu messen, müssen Sie die zweiten Ableitungen der Metrik messen. Angenommen, Sie befinden sich nicht in der Nähe eines Schwarzen Lochs - dies kann kein lokales Experiment aufgrund der vom Messgerät geforderten Auflösung erreichen.
Kommentar zu Frage (v2): Das Zitat von OP aus Wikipedia ist abgeschnitten. Schon der nächste Satz auf Wikipedia lautet: Hier hat „lokal“ eine ganz besondere Bedeutung: Nicht nur darf das Experiment nicht außerhalb des Labors blicken, sondern es muss auch klein sein im Vergleich zu Schwankungen im Gravitationsfeld, den Gezeitenkräften, damit das Ganze Labor ist frei fallend. Es impliziert auch das Fehlen von Wechselwirkungen mit anderen "externen" Feldern als dem Gravitationsfeld.
@Qmechanic Allerdings habe ich mich aus diesem Grund für die EEP statt der SEP-Variante entschieden. Das beantwortet meine Frage aber nicht. Kann man keine Krümmung der Raumzeit lokal messen?
@MaddeAnerson: Ja, Sie können die Krümmung der Raumzeit lokal messen. Dies verstößt jedoch nicht gegen die sehr enge Definition des Einstein-Äquivalenzprinzips, das im Grunde besagt, dass Sie immer ein Labor wählen sollten, das klein genug ist, und einen experimentellen Zeitrahmen, der kurz genug ist, damit die Auswirkungen verschwinden.
Es ist erwähnenswert, dass der Ricci-Skalar in einem Vakuum (oder in einer Umgebung mit geringer Dichte wie Luft) null (oder fast null) ist. Natürlich gibt es andere Skalare, die möglicherweise nicht Null sind.
Das Äquivalenzprinzip gilt nur für die Terme erster Ordnung auf metrischen Koeffizienten, und der Ricci-Tensor hängt von Ableitungen zweiter Ordnung der Metrik ab.
@diffeomorphism Welche Metrik? Der metrische Tensor?
@JerrySchirmer Nun, dann besagt das EEP mehr oder weniger, dass in einem infinitesimalen Bereich keine Krümmung bemerkt werden kann. Wie kommen Sie darauf, dass die Schwerkraft ein Ergebnis des gekrümmten Raums ist?
@MaddeAnerson: tut es nicht. Es sind zwei getrennte Aussagen. Jedoch erfüllt jede Gravitationstheorie, die Gravitation als Raumkrümmung kodiert, automatisch das EEP. Die entgegengesetzte Richtung Ihrer Kausalität funktioniert also vollständig.
@Javier, wenn nichts anderes, R A B C D R A B C D ist in Gravitationsfeldern ungleich Null nicht Null.

Antworten (1)

Sie erwähnen ein paar Mal, dass die Krümmung eine Invariante ist. Ich frage mich, ob Sie das mit dimensionslos verwechseln. Ich vermute, dass Sie über den Ricci-Skalar sprechen , der eine relativistische Invariante ist, aber nicht dimensionslos ist; IIRC hat Einheiten des umgekehrten Abstands zum Quadrat. Auf Entfernungsskalen, die viel kleiner sind als die durch die Krümmung implizierte Skala, ist die Krümmung vernachlässigbar und nicht erkennbar. Beispielsweise ist eine Krümmung von 1/(1000 km) auf Maßstäben von 1000 km leicht zu erkennen, auf Maßstäben von 1 m jedoch schwer zu erkennen. Deshalb sieht man die Krümmung der Erdoberfläche nicht, wenn man auf dem Boden steht und Dinge aus ein paar Metern Entfernung betrachtet.

Wenn das Äquivalenzprinzip von "lokalen" Messungen spricht, bedeutet dies, dass Messungen über einen ausreichend kleinen Bereich der Raumzeit stattfinden, sodass die Krümmung vernachlässigbar ist. Sie können sich immer auf einen ausreichend kleinen Bereich (formal einen unendlich kleinen Bereich) beschränken, damit die Raumzeit flach aussieht, egal wie stark die Krümmung oder wie empfindlich Ihre Instrumente sind. Man kann die Krümmung also nicht durch "lokale" Experimente im Sinne des Prinzips entdecken.

Inhalt des Äquivalenzprinzips ist dann, dass das freie Fallen in einem Gravitationsfeld (lokal) nicht vom freien Schweben im Raum zu unterscheiden ist. Mit anderen Worten, das Gravitationsfeld kann innerhalb eines infinitesimalen Bereichs zum Verschwinden gebracht werden, indem das geeignete Referenzsystem gefunden wird – ein frei fallendes. Es gibt keinen "übrigen" Teil des Gravitationsfeldes, der nicht durch freien Fall entfernt werden könnte.

Beachten Sie, dass dies für andere Felder im Allgemeinen nicht der Fall ist – beispielsweise können elektromagnetische Felder nicht durch die Wahl eines bestimmten Referenzrahmens zum Verschwinden gebracht werden. Ein reines elektrisches Feld in einem Rahmen kann als Mischung aus elektrischen und magnetischen Feldern in einem anderen Rahmen erscheinen, aber wenn an einem Punkt ein Feld ungleich Null vorhanden ist, gibt es keinen Rahmen, in dem sowohl elektrische als auch magnetische Felder vollständig verschwinden (auch nicht lokal ). Die Gravitation ist in dieser Hinsicht also etwas ganz Besonderes.

Ich kann immer noch die Erdkrümmung messen, sogar lokal, und selbst wenn ich das praktisch nicht kann , ist es mit Instrumenten, die empfindlich genug sind, immer noch möglich. Somit kann ich zwischen den beiden Situationen unterscheiden und das EEP schlägt fehl.
Dies, wobei Gezeiteneffekte oder ähnliches ignoriert werden. Die Tatsache, dass die Krümmung eine Invariante – ALLEINE – ist, macht die Behauptung „frei fallen und mit einer Standard-Erdbeschleunigung beschleunigen ist dasselbe“ falsch. Das eine beinhaltet die Krümmung einer Mannigfaltigkeit und das andere nicht.
@MaddeAnerson So empfindlich Ihre Instrumente auch sind, Sie können sich immer auf eine Region beschränken, die klein genug ist, dass Sie die Krümmung nicht sehen können - formal eine infinitesimale Region - und in dieser kleinen Region können Sie den Unterschied nicht erkennen. Das ist die Bedeutung von „lokal“ im Äquivalenzprinzip.
Ich verstehe. Sie beschränken sich im Wesentlichen auf einen unendlich kleinen Bereich, und in einem solchen Bereich kann es keine Krümmung geben. Ich habe jedoch das Gefühl, dass dies das EEP viel weniger revolutionär macht. Was Einstein im Wesentlichen sagte, war, dass „in einem unendlich kleinen Bereich keine Krümmung bemerkt werden kann“. Nicht wahr zu sein, aber "na und?"
@MaddeAnerson Ja, es stimmt, das wäre nicht sehr revolutionär. Der Inhalt des EEP ist jedoch mehr als nur „in einem verschwindend kleinen Bereich kann keine Krümmung festgestellt werden“. Ich habe meiner Antwort dazu noch etwas hinzugefügt.
Nun, wie kommst du darauf, dass die Schwerkraft das Ergebnis eines gekrümmten Raums ist?
@Madde Anerson: Ich glaube nicht, dass die Schwerkraft das Ergebnis eines gekrümmten Raums ist, es ist der gekrümmte Raum.
Krümmung der Raumzeit und das Äquivalenzprinzip
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