Verwechslung mit bestimmten Aspekten des Äquivalenzprinzips

Question

Verwechslung mit bestimmten Aspekten des Äquivalenzprinzips

K_K

Ich habe einen GR-Kurs belegt und überarbeite ihn nach einer Weile. Ich bin sehr verwirrt über das Äquivalenzprinzip. Betrachten Sie die folgenden zwei Aussagen:

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit können wir die Koordinaten immer so wählen, dass die Metrik wie die Minkowski-Metrik aussieht ( $\eta_{\mu\nu}$ ) örtlich.
Aus dem Äquivalenzprinzip wissen wir, dass man lokal nicht zwischen freiem Fall und Schwerelosigkeit unterscheiden kann. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, dass man immer lokal beschleunigte Koordinaten wählen kann, um die Auswirkungen eines einheitlichen Gravitationsfeldes nachzuahmen.

Nun, es mag für einige offensichtlich sein, aber ich sehe nicht, wie sogar Punkt 1 aus dem Äquivalenzprinzip kommt. Wie kann ich lokal beschleunigte Koordinaten auswählen, um die Auswirkungen eines einheitlichen Gravitationsfeldes nachzuahmen, das damit zu tun hat, dass die Raumzeit lokal flach ist? Liegt es daran, dass wir diese beschleunigten Koordinaten bzgl. Minkowski-Metrik nennen ( $\eta_{\mu\nu}a^{\mu}a^{\nu}=$ Konstante)? Oder sind diese lokal beschleunigten Koordinaten genau die Koordinaten, nach denen die Metrik aussieht? $\eta^{\mu\nu}$ örtlich?

Jede Hilfe wäre willkommen.

Antworten (4)

Verwechslung mit bestimmten Aspekten des Äquivalenzprinzips

T. ssP · Answer 1

Ich denke, Ihre Frage hat eine tiefe Verbindung zu Riemann Normal Coordinates.

Die Grundidee hinter Riemann-Normalkoordinaten besteht darin, die Geodäten durch einen bestimmten Punkt zu verwenden, um die Koordinaten für nahe gelegene Punkte zu definieren. Sei der gegebene Punkt $O$ und betrachte einen Punkt in der Nähe $P$ . Wenn $P$ ist nah genug dran $O$ dann gibt es eine eindeutige geodätische Verbindung $O$ Zu $P$ . Lassen $a^\mu$ seien die Komponenten des Einheits-Tangentenvektors zu diesem geodätischen at $O$ und lass $s$ sei die geodätische Bogenlänge, gemessen von $O$ Zu $P$ . Dann die Riemannschen Normalkoordinaten von $P$ definiert sind $x^\mu = sa^\mu$ .

Eine triviale Folge dieser Definition ist, dass alle Geodäten durch O von der Form sind $x^\mu(s) = sa^\mu$ und dass die $a^\mu$ entlang jeder Geodäte konstant sind. Durch direktes Einsetzen in die geodätische Gleichung

\frac{D^{2} X^{μ}}{D S^{2}} + Γ_{a β}^{μ} \frac{D X^{a}}{D S} \frac{D X^{β}}{D S} = 0

$\frac{d^2x^\mu}{ds^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta}\frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds}=0$

und seine Derivate erhält man am Ursprung $O$

Γ_{a β}^{μ} = 0

$\Gamma^\mu_{\alpha \beta} = 0$

\partial_{v} Γ_{a β}^{μ} + \partial_{a} Γ_{v β}^{μ} + \partial_{β} Γ_{a v}^{μ} = 0

$\partial_\nu \Gamma^\mu_{\alpha \beta} + \partial_\alpha \Gamma^\mu_{\nu \beta} + \partial_\beta \Gamma^\mu_{\alpha \nu} = 0$

Aus diesen Ergebnissen ist dies leicht ersichtlich

\partial_{v} Γ_{a β}^{μ} = - \frac{1}{3} (R_{a β v}^{μ} + R_{β a v}^{v})

$\partial_\nu \Gamma^\mu_{\alpha \beta} = -\frac{1}{3}(R^\mu_{\alpha \beta \nu} + R^\nu_{\beta \alpha \nu})$

woraus folgt

\partial_{a} \partial_{β} G_{μ v} = - \frac{1}{3} (R_{μ a v β} + R_{μ β v a})

$\partial_\alpha \partial_\beta g_{\mu \nu} = -\frac{1}{3}(R_{\mu \alpha \nu \beta} + R_{\mu \beta \nu \alpha})$

und schlussendlich

R_{μ v a β} = \partial_{μ} \partial_{β} G_{a v} - \partial_{v} \partial_{β} G_{a μ}

$R_{\mu \nu \alpha \beta} = \partial_\mu \partial_\beta g_{\alpha \nu} - \partial_\nu \partial_\beta g_{\alpha \mu}$

Dieses Ergebnis kann schließlich verwendet werden, um die Taylor-Erweiterung der Metrik in Bezug auf die Krümmung, dh den Riemann-Tensor, erneut auszudrücken. Die Taylorentwicklung lautet wie folgt

G_{μ v} (X) = η_{μ v} + \partial_{a} \partial_{β} G_{μ v} \frac{X^{a} X^{β}}{2} + Ö (ϵ^{2})

$g_{\mu \nu}(x)= \eta_{\mu \nu} + \partial_\alpha \partial_\beta g_{\mu \nu} \frac{x^\alpha x^\beta}{2} + O(\epsilon^2)$

Deshalb

G_{μ v} (X) = η_{μ v} - \frac{1}{3} R_{μ a v β} X^{a} X^{β}

$\boxed{g_{\mu \nu}(x)=\eta_{\mu \nu} - \frac{1}{3}R_{\mu \alpha \nu \beta} x^\alpha x^\beta}$

Somit könnten die führenden Terme der Metrik als Summe eines konstanten Teils plus eines Krümmungsteils für benachbarte Punkte ausgedrückt werden. Beachten Sie, dass dieses Ergebnis nicht für weiter entfernte Punkte gilt, wo die Taylor-Entwicklung der Metrik nicht anwendbar ist und der Einheits-Tangentenvektor entlang der geodätischen Verbindung nicht konstant ist $O$ Zu $P$ .

Physikalisch gesehen ist das eigentliche Gravitationsfeld nicht die Beschleunigung, sondern die Gezeitenkräfte, die durch keine Koordinatenänderung verschwinden können. Gezeitenkräfte werden normalerweise als geodätische Abweichung gemessen, die den Ort zweier Beobachter weit genug voneinander trennt.

Als Beispiel für diese Koordinaten haben wir das Schwarzschild-Schwarze Loch, wo in der Nähe des Ereignishorizonts gezeigt werden kann, dass die Metrik zweier benachbarter Punkte die gleiche Form hat wie die Rindler-Koordinaten eines beschleunigten Beobachters in einer flachen Raumzeit.

Weitere Informationen in Riemann-Koordinaten .

Vinzenz Thacker · Answer 2

Wir müssen zuerst Koordinatensysteme von der Mannigfaltigkeit selbst trennen. Der Verteiler selbst hat unabhängig von den gewählten Koordinaten dieselbe Form. Stellen Sie sich ein frei fallendes Teilchen vor, das die Eigenzeit anzeigt $\tau$ . In einem Koordinatensystem ist seine Bewegung durch die geodätische Gleichung gegeben

\frac{D^{2} X^{ρ}}{D τ^{2}} = - Γ_{μ v}^{ρ} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ}

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = -\Gamma^\rho_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}$ Diese Gleichung ist koordinatenabhängig. Es ist möglich, die Koordinaten so zu ändern, dass alle

Γ_{μ ν}^{ρ} = 0

$\Gamma^\rho_{\mu\nu} = 0$ an einem einzigen Punkt, so dass

\frac{D^{2} X^{ρ}}{D τ^{2}} = 0

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = 0$ und per definitionem ist dies die bewegung frei fallender teilchen in der flachen raumzeit mit

η_{μ ν}

$\eta_{\mu\nu}$ . Wenn wir stattdessen ein anderes Koordinatensystem verwenden, werden Sie das finden

d^{2} x^{ρ} / d τ^{2} \neq 0

$\text{d}^2 x^\rho /\text{d}\tau^2 \neq 0$ was bedeutet, dass das frei fallende Teilchen in Bezug auf die Koordinaten beschleunigt wird, was ein Beobachter, der diese Koordinaten verwendet, als "Schwerkraft" wahrnimmt.

Allgemeiner gesagt ist die Beschleunigung eines Teilchens in Bezug auf ein Koordinatensystem die Summe der Eigenbeschleunigung $a^\rho$ und koordinateninduzierte (geometrische) Beschleunigung:

\frac{D^{2} X^{ρ}}{D τ^{2}} = A^{ρ} - Γ_{μ v}^{ρ} \frac{D X^{μ}}{D τ} \frac{D X^{v}}{D τ}

$\frac{\text{d}^2x^\rho}{\text{d}\tau^2} = a^\rho - \Gamma^\rho_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}$ Das bedeutet, dass die Eigenbeschleunigung eines Objekts, also die von einem Beschleunigungsmesser am Objekt selbst gemessene Beschleunigung, koordinatenunabhängig ist (obwohl ihre durch die obige Gleichung gegebenen Komponenten von der Wahl des Koordinatensystems abhängen) . In GR ist die Schwerkraft ein Ergebnis der Raumzeitkrümmung und keine Kraft, daher ist sie keine Quelle der richtigen Beschleunigung. Daher klingt Ihr Begriff "lokal beschleunigte Koordinaten" für mich vage. Ein Beobachter hat entweder die richtige Beschleunigung oder nicht.

Andreas Steane · Answer 3

Andreas Steane

Sicherlich ist „Schwerkraftlosigkeit“ (Behauptung 2) nichts anderes als „Metrik ist lokal Minkowski“ (Behauptung 1). Anders ausgedrückt: Die lokale Minkowski-Metrik gibt allen Verbindungskoeffizienten an einem Punkt Null, und Gravitationsphänomene entstehen aus Verbindungskoeffizienten ungleich Null.

K_K

Einfach gesagt. Vielen Dank für Ihre Antwort. Würden Sie einen Blick auf eine andere Frage werfen ? Ich hätte auch gerne eure Meinung dazu.

Andreas Steane

@KabirKhanna ok, ich habe dort eine Antwort hinzugefügt, um das zu erweitern, was bereits von anderen gepostet wurde

lurscher

aber in einem frei fallenden Rahmen ist die Metrik ziemlich lokal Minkowski. Ist es richtig zu sagen, dass ein frei fallender Rahmen ohne Schwerkraft ist? Ich würde sagen, Sie müssen Ableitungen zweiter Ordnung der Metrik nehmen, um das zu sagen

Andreas Steane

@lurscher Sie haben einen fairen Punkt. Meine Antwort betrifft nur das, was das Äquivalenzprinzip behauptet. Das ist eine Behauptung über die Physik an der Grenze, wo die untersuchte Region der Raumzeit eine kleine Größe hat im Vergleich zu lokalen Krümmungsradien der Raumzeit. Es ist jedoch eine andere Frage, ob der Begriff „keine Schwerkraft“ so verstanden werden sollte, dass „keine Gezeitenwirkung der Schwerkraft“ gemeint ist. Diese stärkere Behauptung würde eine völlig flache Raumzeit erfordern (wenn man verlangt, dass alle höheren Ableitungen der Metrik verschwinden).

Umaxo · Answer 4

Wie kann ich lokal beschleunigte Koordinaten auswählen, um die Auswirkungen eines einheitlichen Gravitationsfeldes nachzuahmen, das damit zu tun hat, dass die Raumzeit lokal flach ist?

Wenn Sie die Auswirkungen eines Gravitationsfeldes nachahmen, bedeutet dies, dass es wirklich kein Gravitationsfeld gibt, aber es scheint nur so zu sein. Ohne Gravitationsfeld ist die Raumzeit flach.

Die Krümmung ist ein koordinatenunabhängiges Konzept. Wenn etwas eine Krümmung hat, dann in jedem beliebigen Koordinatensystem. Wenn man also lokale Eigenschaften der Metrik in gekrümmter Raumzeit nachahmen kann, indem man spezielle Koordinaten in flacher Raumzeit wählt, bedeutet dies, dass die beiden Raumzeiten lokal die gleiche Krümmung haben, dh gekrümmte Raumzeit muss lokal flach sein.

Ihre Antwort ist überzeugend, aber es gibt einen mathematischen Punkt, bei dem ich mir immer noch nicht sicher bin: Sind diese lokal beschleunigten Koordinaten, beispielsweise am Punkt P der Mannigfaltigkeit, dieselben Koordinaten, die meine Metrik wie die Minkowski-Metrik um den Punkt P aussehen lassen ? Ich denke schon, aber ich bin mir nicht sicher.
@KabirKhanna Ich bin mir nicht sicher, wie ich "die gleichen Koordinaten" interpretieren soll. Koordinaten sind Homöomorphismus von Mannigfaltigkeit in $\mathbb{R}^n$ und Sie arbeiten mit zwei verschiedenen Verteilern. Was bedeutet es, dass Koordinaten gleich sind, wenn sie auf verschiedenen Räumen definiert sind?

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T. ssP

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