Geometrische Formulierung des Äquivalenzprinzips

Tatsächlich ist das Ergebnis sogar noch stärker:

Gegeben sei eine zeitähnliche Geodäte$\gamma$und ein Punkt$p \in \gamma$, es gibt eine Nachbarschaft$U \ni p$ausgestattet mit Koordinaten,$x^0,x^1,x^2,x^3$so dass im Teil von$\gamma$darin enthalten$U$, genau entlang$\gamma$, verschwinden die Ableitungen der Metrik in den genannten Koordinaten. Äquivalent die Christoffel-Symbole$\Gamma^a_{bc}$in den genannten Koordinaten verschwinden mit$\gamma$In$U$. Die Koordinate$x^0$stimmt mit der entlang gemessenen Eigenzeit überein$\gamma$und die restlichen drei Koordinaten$x^k$kann raumartig und orthogonal dazu gewählt werden$\gamma$.

Die genannten Koordinaten werden als angepasste Fermi-Koordinaten bezeichnet$\gamma$

Dieses Ergebnis (aber auch das von Ihnen erwähnte schwächere, da wir im folgenden Beweis die Tatsache verwenden, dass die Christoffel-Symbole genau als Koordinatenursprung verschwinden) impliziert eine geometrische Version des Äquivalenzprinzips. Genauer gesagt beinhaltet es die Aussage, dass

in dem auf einen frei fallenden Körper zentrierten Bezugsrahmen wird die Bewegung eines anderen frei fallenden Körpers durch eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit angenähert, und diese Annäherung gilt für kurze Zeiten und in einem kleinen räumlichen Bereich um die Mitte des frei fallenden Bezugsrahmens herum.

Lassen Sie uns veranschaulichen, wie es passiert. Betrachten Sie das genannte Koordinatensystem$x^0,x^1,x^2,x^3$Angenommen (durch Neudefinition des Koordinatenursprungs, falls erforderlich), dass der Teil von$\gamma$In$U$wird beschrieben von$x^0 \in (-a,a)$Und$x^k=0$für$k=1,2,3$.

Eine zweite zeitähnliche Geodäte$\gamma'$Kreuzung$\gamma$am Ursprung hat Gleichung

$$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2} = -\Gamma^{a}_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\:.$$ Allerdings genau am Ursprung der Koordinaten, wo sich die Geschosse der beiden frei fallenden Körper treffen und vermutlich die richtige Zeit nehmen $\gamma'$sein $t=0$Dort, $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_{t=0} = - \Gamma^{a}_{bc}\bigg|_{(0,0,0,0)} \frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0 \frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 = 0 ~~\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\bigg|_0\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}\bigg|_0 =0\:.$$ Erweiterung des Ausdrucks von $\gamma'$in Koordinaten um $t=0$, $$x^a(t) = x^a(0) + \frac{\mathrm dx^a}{\mathrm dt}\bigg|_0 t + \frac{1}{2}\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}\bigg|_0 t^2 + O^a(t^3)= 0 + V^a t + 0 + O^a(t^3)$$ das ist $$x^a(t) = V^at + O(t^3)\:.$$ Dies ist in der Tat eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Beachte das $V^0 \neq 0$Weil $\gamma'$ist zeitähnlich, sodass wir die Geodäte mit der Zeit der Koordinaten neu parametrieren können $x^0$statt der richtigen Zeit $t$entlang $\gamma'$. Definieren $v^k := V^k/V^0$für $k=1,2,3$wir haben leicht $$x^k(x^0) = v^k x^0 + O^k((x^0)^3)\:.$$ Um eine gewisse Beschleunigung zu schätzen, müssen wir uns mit Infinitesimalwerten dritter Ordnung befassen $O((x^0)^3)$statt der zweiten Bestellung. Diese Annäherung ist so gut wie $x^0$kleiner ist, dh der Körper mit Geschichte durch gegeben $\gamma'$liegt in der Nähe $\gamma$.