Wann sollte man sich auf physikalische Ergebnisse verlassen, die unter Verwendung spezifischer Koordinaten in GR abgeleitet wurden?

Ich habe an einem GR-Kurs teilgenommen, der an einer Stelle die Metrik diskutiert, die für die Außenseite eines physischen, nicht rotierenden, ungeladenen, massiven Objekts mit Kugelsymmetrie abgeleitet wurde. Für diese Situation habe ich die abgeleitete Schwarzschild-Metrik in Scharzschild-Koordinaten gesehen.

Aus der Form der Metrik ist ersichtlich, dass schlechte Dinge passieren können R = 2 G M Und R = 0 , aber dies kommt mit der Warnung, dass man, da die Metrik koordinatenabhängig ist, die skalaren Kontraktionen des Riemann-Krümmungstensors überprüfen sollte, um zu sehen, ob irgendwelche physikalischen schlechten Dinge passieren. Der Kurs fährt fort zu zeigen, dass dies der Fall ist für R = 0 aber nicht für R = 2 G M .

Dann werden Lichtkegel untersucht, indem herausgefunden wird, was mit der geodätischen Gleichung für masselose Teilchen in Schwarzschild-Koordinaten passiert, und sie scheinen sich zu schließen R nähert 2 G M . Dies deutet darauf hin, dass Licht in diesen Koordinaten den Horizont erreichen, aber nicht überqueren kann.

Eine Koordinatentransformation in Eddington-Finkelstein-Koordinaten wird dann verwendet, um zu zeigen, dass die Metrik in diesen Koordinaten gutartig ist R = 2 G M und eine Analyse der Lichtkegel in diesen Koordinaten zeigt, dass eine Kante des Lichtkegels, diejenige, die radial nach innen zum Zentrum der Geometrie orientiert ist, gegenüber der flachen Raumzeit unverändert zu sein scheint, während radial nach außen orientiertes Licht ihre Kante hat Lichtkegel kippt bis zum Horizont, dieser ist mit dem Horizont ausgerichtet.

Diese Analyse zeigt, dass Licht bis zum Horizont reichen kann, aber die Region nicht verlassen kann.

Mit dieser Einführung und diesem Kontext lautet meine Frage, wie die unterschiedliche Analyse der Lichtkegel in diesen beiden unterschiedlichen Koordinatensystemen zu interpretieren ist. Einerseits schließen sich Lichtkegel in Schwarzschild-Koordinaten und richten sich am Horizont aus, während in EF-Koordinaten klar ist, dass es Geodäten im Horizont gibt, nur keine, die herauskommen.

Um es klar zu sagen, ich frage nicht, ob Licht in einen von einem Schwarzen Loch gebildeten Horizont eindringen kann oder nicht. Ich suche nach Klarheit darüber, warum der Analyse in Schwarzschild-Koordinaten nicht (vollständig) vertraut werden kann, aber anscheinend der Analyse in den Eddington-Finkelstein-Koordinaten.

Ich habe eine Reihe von Kommentaren entfernt, die versuchten, die Frage zu beantworten und/oder anderweitig unangemessen waren, sowie Antworten darauf. Kommentatoren, denken Sie bitte daran, dass Kommentare verwendet werden sollten, um Verbesserungen vorzuschlagen und um Klärung der Frage zu bitten, nicht um zu antworten.

Antworten (1)

Der springende Punkt bei GR ist, dass die Physik unabhängig von dem spezifischen Koordinatensystem ist, das Sie verwenden. Wenn also ein Phänomen für ein bestimmtes Koordinatensystem auftritt (z R = 2 G M Singularität in Schwarzschild-Koordinaten) aber nicht für eine andere auftritt (dh Eddington-Finkelstein-Koordinaten), dann ist es wahrscheinlich kein physikalischer Effekt, sondern eher ein Artefakt der Mathematik.

Wenn Sie also eine Singularität sehen, versuchen Sie zu sehen, ob es immer noch eine Singularität ist, wenn Sie verschiedene Koordinatensysteme verwenden. Wenn dies nicht der Fall ist, handelt es sich um eine Koordinatensingularität (kein physikalisches, mathematisches Artefakt). Wenn dies der Fall ist, handelt es sich wahrscheinlich um eine intrinsische ( physikalische ) Singularität. Darauf sollten Sie also „vertrauen“. R = 0 ist seltsam, weil mehrere Koordinatensysteme es seltsam finden, aber Sie sollten nicht "vertrauen" R = 2 G M so seltsam, weil einige Systeme damit einverstanden sind.

Diese Argumentation ähnelt entfernbaren oder wesentlichen Singularitäten/Polen in der komplexen Analyse .

Außerdem muss man bei der „physikalischen Deutung“ der Lichtkegel aufpassen. Darin, was Sie gegen was planen .

Das typische Schwarzschild-Koordinatendiagramm ist das folgende (von hier ), wo die j Achse ist die Zeit T (geometrische Konstanten, C = 1 usw.) und die X Achse ist R . Auf dieser Basis die metrischen Einträge G 00 Und G 11 die die Punktproduktbeiträge steuern D T 2 Und D R 2 sind eingezeichnet (unten) und Sie können sehen, dass sich ihre Vorzeichen ändern. Das ist der Grund, warum manche Leute sagen, dass „Zeit und Position“ über den Ereignishorizont hinaus ihre Plätze wechseln. Aber es liegt an der Interpretation in diesem speziellen Koordinatensystem.

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Andererseits ist die typische Darstellung in Eddington-Finkelstein-Koordinaten die folgende. Beachten Sie, wie die Achsen jetzt sind v − R Und R . v bezieht sich auf T aber es ist nicht genau dasselbe.

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Schließlich sind Kruskal-Szekeres-Koordinaten ein weiterer Satz von Koordinaten, der normalerweise für sphärische nicht rotierende Schwarze Löcher verwendet wird. u Und v (anders v von vorher), siehe unten. Die Kruskal-Szekeres-Parametrisierung ist nützlich, da sie die einzigartige maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit ist. Sie sind auch dafür bekannt, dass sie sich zur Einführung von Einstein-Rosen-Brücken (Wurmlöchern) eignen.

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@Rolk Bitte lesen Sie die Kommentare unter Ihrer Antwort, da mein Verständnis anscheinend unvollständig ist
Das Problem ist, dass ich nicht verstehe, dass die in den Schwarzschild-Koordinaten beschriebene Physik eine Situation zu beschreiben scheint, in der Licht den Horizont nicht erreichen kann, während das Eddington-Finkelstein-Diagramm zu implizieren scheint, dass sie es können, aber niemals verlassen können. Zwei unterschiedliche Koordinatensätze implizieren unterschiedliche physikalische Ergebnisse. Die Frage ist dann, können wir diesen Lichtkegelanalysen vertrauen, und wenn ja, woher wissen wir, welche physikalisch bedeutsam sind? Ich werde auch die referenzierten Papiere aus den Kommentaren überprüfen.
Warum sagen Sie, dass die Scharzschild-Koordinaten darauf hindeuten, dass der Lichtkegel niemals den Horizont erreichen kann? Es kann.
Denn in diesen Koordinaten schließen sich die Lichtkegel, dh die Geodäten von Innenlicht und Außenlicht nähern sich dem Horizont. An der Grenze richten sie sich nach dem Horizont aus, und es gibt nur Zeitbewegung und keine räumliche Bewegung mehr.
Ah ... es ist ein bisschen wie Zenos Paradoxon. Auch wenn es den Anschein hat, dass es immer schwieriger wird, sich dem Horizont zu nähern, kann Licht ihn dennoch in endlicher Zeit erreichen.
Mein Verständnis darüber (jetzt durch die Diskussion in den Kommentaren zu Ihrer Antwort in Frage gestellt) war, dass für jemanden, der den Horizont überschreitet, alles normal ist. Sie würden nicht einmal bemerken, dass sie es überquert haben. Sie würden erst merken, dass etwas nicht stimmt, wenn sie an Spaghettifizierung sterben. Das ganze "Problem" dreht sich um einen Beobachter, der das Ganze betrachtet. In diesem Fall werden sie niemals den ersten Typen sehen , der durch den Horizont fällt. Denn wie man in S-Koordinaten sehen kann, ist dort der Lichtkegel gequetscht, wodurch Licht schon nicht mehr entweichen kann. In EF-Koordinaten ist die
Lichtkegel, wenn nur nach vorne gerichtet. Beide Koordinaten geben Ihnen also am Ende des Tages dasselbe physikalische Ding. Aber noch bevor der Horizont überquert wird, wird das Licht, das vom ersten Kerl kommt, aufgrund der gravitativen Rotverschiebung ernsthaft rotverschoben, sodass Sie sie möglicherweise schon ewig vor dem Überqueren des Horizonts nicht mehr sehen.
In deinem ersten Diagramm kommen die Lichtstrahlen bei r=0 nicht mit 90° an, obwohl sie dort dr/dt=-1/0 sein sollten. Dies sieht so aus, als hätten sie nur den r>2-Teil in die r<2-Region gespiegelt, obwohl dies nicht der richtige Weg ist (Sie können t spiegeln, aber nicht r). Es sollte eher wie hier und hier oder hier und hier aussehen , wo sie mit unendlicher Koordinatengeschwindigkeit, dh 90°, auf die Singularität treffen
Wann sollte man sich auf physikalische Ergebnisse verlassen, die unter Verwendung spezifischer Koordinaten in GR abgeleitet wurden?
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