Wird der Raum innerhalb eines Ereignishorizonts zeitartig, eine Folge unseres Koordinatensystems?

Betrachten wir das einfachste Beispiel eines Schwarzen Lochs, das Schwarzschild-Schwarze Loch, gegeben durch die Metrik:

Die metrische Signatur ist$(-,+,+,+)$(Einige Autoren verwenden$(+,-,-,-)$ist aber für die vorliegende Diskussion nicht relevant). In diesem Sinne ist die erste Koordinate,$t$, ist mit einer negativen Komponente der Metrik verbunden. Beachten Sie jedoch, dass dies nur für gültig ist$r>r_s$. Wenn$r<r_s$, das heißt, innerhalb des Ereignishorizonts, die Komponente der Metrik, die damit verbunden ist$t$wird positiv, während die Komponente zugeordnet ist$r$negativ wird. In diesem Sinne die$r$Koordinate wird "Zeit", während die$t$Koordinate wird Teil des "Raums".

Allerdings wird die obige Metrik bei singulär$r=r_s$. Dies ist ein Problem mit diesem Koordinatensystem. Wir können eine Koordinatentransformation vornehmen (für Details siehe diese Anmerkungen , Seite 182 ff.), um die Metrik in die folgende Form zu bringen (die sogenannten Kruskal-Koordinaten):

Wo$r=r(u,v)$ist das Übliche$r$, ist hier aber als Funktion von zu verstehen$u$Und$v$.

In diesem Fall spielt die Zeit (negative Komponente der Metrik) eine Rolle$v$, und das gilt für beide$r>r_s$Und$r<r_s$. In diesem Sinne bleibt in Kruskal-Koordinaten innerhalb eines Schwarzen Lochs Zeit Zeit und Raum bleibt Raum.

Was sagt uns das? Im Wesentlichen, dass wir bei der Interpretation der Bedeutung der Koordinaten vorsichtig sein sollten. Zum Beispiel die Uhrzeit$t$in den ursprünglichen Schwarzschild-Koordinaten sollte als die Zeit verstanden werden, die ein Beobachter unendlich weit vom Schwarzen Loch entfernt erlebt. Es ist jedoch nicht die Zeit, die ein Beobachter erlebt, der in das Schwarze Loch fällt: Das wäre die sogenannte Eigenzeit$\tau$, definiert von$dt^2 = -ds^2$. Es ist bekannt, dass es unendlich dauern wird$t$dass ein Beobachter, der radial in das Schwarze Loch fällt, tatsächlich fällt, jedoch nur endlich$\tau$. Das heißt: Wenn Sie in ein Schwarzes Loch fallen, überqueren Sie tatsächlich einen Ereignishorizont (endlich$\tau$), aber dein weit entfernter Freund wird dich nie kreuzen sehen.

Das Fazit ist, dass "zeitähnliche" Koordinaten nicht unbedingt die Zeit sind, die ein Beobachter erlebt, sondern nur eine Möglichkeit, eine Raumzeit zu beschreiben. In der Tat,$u$Und$v$oben haben keine einfache Interpretation in Bezug auf die Zeit, die jemand erlebt hat.

Wie in den Kommentaren diskutiert wurde, ist die Trennung von zwei Punkten, die zeit- oder raumartig sind, beobachterunabhängig, aber dies beantwortet die Frage nicht wirklich.

Eine Sache, die einem Beobachter passiert, der den Ereignishorizont überschreitet, ist, dass die Singularität in der Zukunft liegt, sobald er überschritten ist. Für den äußeren Beobachter bildet das Schwarze Loch (und darin die Singularität) eine zeitähnliche Weltröhre, aber für den inneren Beobachter ist die Singularität jetzt eine raumähnliche Hyperfläche (in eurer Zukunft). In diesem Sinne könnte man sagen, dass die Zeit innerhalb eines Schwarzen Lochs koordinatenunabhängig zum Raum wird.

Was wir jedoch gewöhnlich als Raum bezeichnen, ist eine Familie von raumähnlichen Hyperflächen mit einem Parameter, die senkrecht zu einem zeitähnlichen Vektorfeld stehen (dies würde lokale Gleichzeitigkeitsflächen für die dem Vektorfeld entsprechenden Beobachter definieren), deren integrale Kurven die Zeit definieren. Normalerweise würden wir Koordinaten einführen$(t,x^i)$($i \in \{1,2,3\}$) so dass$t$auf den Hyperflächen konstant ist, und$x^i$entlang der Integralkurven konstant sind. In kanonischen Schwarzschild-Koordinaten nimmt das Linienelement die Form an

Tatsächlich definieren kanonische Koordinaten in der Sprache der Differentialgeometrie ein Diagramm, das das Äußere des Ereignishorizonts abdeckt, und ein separates Diagramm, das das Innere abdeckt. In dieser Sprache, das$r$"wird" im Inneren zeitartig bedeutet einfach, dass wir Koordinaten im Inneren so definieren können, dass das Linienelement von der zeitartigen Koordinate ähnlich seiner Abhängigkeit von der raumartigen Koordinate abhängt$r$im Außenbereich. Da es sich um getrennte Karten handelt, die disjunkte Regionen abdecken, kann man daraus schließen, dass es nichts damit zu tun hat, dass Raum Zeit wird (egal ob koordinatenabhängig oder nicht), sondern eher eine Aussage über die Symmetrien der Regionen ist (dass die Der zeitähnliche Killing-Vektor des Äußeren wird durch einen raumartigen im Inneren ersetzt; tatsächlich können diese durch eine glatte Verlängerung verbunden werden, die ebenfalls Killing ist und am Horizont null ist).