Konforme Tötungsfelder auf Schwarzschild

Ich versuche zu verstehen, welches die konformen Killing Fields in der Schwarzschild-Raumzeit sind. Ich sage, dass X ist ein konformes Killing Field an S ( S Schwarzschild ist), wenn es eine Funktion gibt F : S → R so dass

L X G = F G ,
Wo G ist die Schwarzschild-Metrik, und L ist die Lie-Ableitung.

Ich weiß, dass die Zeitübersetzung, ∂ T , und die Drehungen, Ω ich J sind Killing Fields, also konforme Killing Fields, mit F konstant und gleich 0 .

In der Minkowski-Raumzeit beispielsweise parametrisiert durch ( X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ) , ich weiß, dass das ``Dilation''-Feld, also das Feld

∑ ich = 0 3 X λ ∂ X λ
ist ein konformes Killing Field, mit F = 2 . Ich würde gerne verstehen, ob es in Schwarzschild ein Analogon gibt.

Antworten (1)

In der Schwarzschild-Geometrie bricht der Schwarzschild-Radius die naive Dilatationssymmetrie. Im einfachen Fall einer radialen Dilatation R → λ R , die Geometrie bleibt nur erhalten durch R S → λ R S . Es scheint also naiv, als wäre es schwierig, eine funktionierende Dilatation zu finden, selbst nur eine radiale Dilatation.

Ich bemühte mich (als Übung für mich selbst), eine funktionierende Dilatation zu finden, und scheiterte. Was ich gefunden habe, ist das Vektorfeld

X = T ∂ T + R 1 − R S R ∂ R

was sich nähert 0 als R → R S Und R ∂ R als R → ∞ ist fast ein konformes Killing Field. Die Lügenableitung der Metrik ist jedoch

L X G = 2 1 − R S R ( − 1 − R S R − R S 2 R ( 1 − R S R ) − 1 R 2 R 2 Sünde 2 ⁡ θ )

Die tt-Komponente der Metrik verdirbt also alles. Ich habe mich ein wenig bemüht, dieses Vektorfeld zu modifizieren (indem ich ihm eine zeitähnliche Komponente hinzufüge, eine explizite Zeitabhängigkeit hinzufüge usw.), aber bisher hat nichts funktioniert.

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