Diffeomorphismus bei gegebenen Vektorfeldern finden [geschlossen]

Nun, eigentlich suchen Sie nach einer Gruppe von Diffeomorphismen mit einem Parameter (oder Isometrien, wenn Sie sich auf das Boost-Vektorfeld beziehen). Diese Gruppe erhält man durch Lösen der Differentialgleichung

$$\frac{dx}{ds}= X(x(s))\tag{1}$$ mit einer generischen Anfangsbedingung $z$bei $s=0$im Verteiler $M$(Minkowski-Raumzeit in Ihrem Beispiel). $X$ist Ihr Vektorfeld eingeschaltet $M$. Die Lösungen haben die Form $$M \times \mathbb R \ni (z,s) \mapsto \phi_s(z)$$ Wo $z$ist die Anfangsbedingung, das ist der Punkt $x(0)= \phi_0(x) =z$und die richtige Lösung von (1) mit dieser Anfangsbedingung, $z$, Ist $x_s= \phi_s(z)$. Es stellt sich heraus, dass $$\phi_0 = id\:, \quad \phi_s \circ \phi_r = \phi_{s+r}\:,\quad \phi_{-s}= (\phi_s)^{-1}\:.$$ Jede $\phi_s : M \to M$ist ein Diffeomorphismus. Die Ein-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen, die zugeordnet sind $X$ist die Familie der Diffeomorphismen $\{\phi_t\}_{t \in \mathbb R}$.

Im Allgemeinen ist die Gruppe nur lokal, dh nicht für alle Werte von definiert$s$(Die$s$-Domäne hängt ab$z$), aber ich werde diesen Punkt in dieser elementaren Präsentation nicht diskutieren.

Im konkreten Fall des Boost-Vektorfeldes müssen Sie das System lösen

$$\frac{dt}{ds}= x(s)\:,\quad \frac{dx}{ds}= t(s)$$ So findest du das $\phi_s((t,x))= (t(s),x(s))$mit $$t(s) = x\sinh(s)+ t\cosh(s)\:, \quad x(s) = x\cosh(s)+ t\sinh(s)\:.$$ Was deine letzte Frage zum exponentiellen Vektorfeld betrifft, kannst du sie jetzt selbst lösen.