Noethers Theorem in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die Formulierung des Satzes von Noether in der Allgemeinen Relativitätstheorie erfordert die Verwendung eines sogenannten Killing Vector Field. Es ist ein wirklich faszinierendes Thema, aber um es zu verstehen, muss man ein ziemlich starkes Verständnis der Tensorrechnung haben. Ich werde das Konzept hier erklären, und wenn Sie eine Klärung der Mathematik benötigen, aktualisiere ich meine Erklärung gerne.

Wie Sie hoffentlich wissen, geht die allgemeine Relativitätstheorie davon aus, dass die Raumzeit ein geordnetes Paar ist$(M, g_{ab})$, Wo$M$ist eine 4-dimensionale, glatte, reale Mannigfaltigkeit und$g_{ab}$ist ein symmetrischer, bilinearer, nicht entarteter Rang$(0, 2)$Tensor (bekannt als die Metrik der Raumzeit). Wir definieren die Differenzierung von Tensoren in der Raumzeit so, dass die Ableitung der Metrik Null ist – das heißt,$\nabla_a g_{bc} = 0.$

Wir brauchen noch eine Definition. Eine Ein-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen ist eine glatte Gruppenwirkung der additiven Gruppe$\mathbb{R}$auf dem Krümmer$M$-- äquivalent ist es eine Karte

$$\phi : \mathbb{R} \times M \rightarrow M$$

so dass für alle$p \in M$wir haben$\phi(0, p) = p$und für jeden$t, s \in \mathbb{R}$wir haben$\phi(t, \phi(s, p)) = \phi(t + s, p).$Wir verlangen das auch für alle festen$t$,$\phi_t : M \rightarrow M$ist ein Diffeomorphismus.

Da gibt es viel zu bedenken, aber man muss nicht zu sehr darüber nachdenken. Wichtig ist nur, darüber nachzudenken, was passiert, wenn wir einen Punkt fixieren$p$auf dem Krümmer. Lassen$\phi_p : \mathbb{R} \rightarrow M$sei die Karte von gegeben$\phi_p(t) = \phi(t, p).$Dies ist eine glatte Karte von den Realen in$M$, auch bekannt als Kurve auf dem Verteiler, die durchläuft$p$bei$t = 0.$

Beim Studium glatter Mannigfaltigkeiten gibt es die allgemeine Vorstellung, einen Tensor entlang einer Kurve "vorwärts schieben" zu können. Das heißt, wenn wir an dem Punkt einen Tensor haben$p$und eine durchgehende Kurve$p$, gibt es einen natürlichen Weg, ihn entlang der Kurve zu schieben und einen neuen Tensor an einem anderen Punkt auf der Mannigfaltigkeit zu erhalten. Wir werden daran interessiert sein, dies für zu tun$g_{ab}.$Ich werde eine allgemeinere Diskussion von Push-Forwards (auch bekannt als Differentiale von Diffeomorphismen) auslassen, aber wenn Sie eine bessere Erklärung wünschen, lesen Sie Lees Introduction to Smooth Manifolds .

Es gibt nur noch EINEN weiteren Punkt, an den Sie denken müssen: Wenn ich eine Ein-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen habe, kann ich damit die gesamte Raumzeit ausfüllen$M$mit ähnlichen Kurven. Wenn ich an allen Punkten die Tangentenvektoren an diese Kurven nehme, kann ich ein glattes Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit erhalten$M$. Ebenso kann ich, wenn Sie mir ein glattes Vektorfeld geben, eine entsprechende Gruppe von Diffeomorphismen mit einem Parameter finden (indem ich den Satz von Integralkurven nehme, der dieses Vektorfeld als Satz von Tangentenvektoren enthält). Von jetzt an werde ich also nur noch darüber sprechen, Tensoren mit glatten Vektorfeldern voranzutreiben, nicht mit Ein-Parameter-Gruppen von Diffeomorphismen.

Okay, das war also viel Formalismus. Wo bringt es uns hin? Warum habe ich deine Zeit damit verschwendet? Nun, denken Sie darüber nach, wie der Satz von Noether in der klassischen Mechanik ausgedrückt wird: "Jede kontinuierliche Symmetrie führt zu einer Erhaltungsgröße." Wenn wir die Erhaltungsgrößen in der Allgemeinen Relativitätstheorie untersuchen wollen, müssen wir den Begriff der „kontinuierlichen Symmetrie“ interpretieren.

Nun, wir glauben, dass die Metrik$g_{ab}$regelt fast die gesamte Physik der Raumzeit. Die einzigen Symmetrien, die wir wirklich berücksichtigen können, sind die Symmetrien der Metrik. Was bedeutet das? Nun, wir wissen, dass uns jedes glatte Vektorfeld eine Möglichkeit bietet, die Metrik an einem Punkt auf der Mannigfaltigkeit zu nehmen und sie entlang zu verschieben, um einen Tensor an einem anderen Punkt auf der Mannigfaltigkeit zu erhalten. Die natürlichste Art, sich Symmetrien der Metrik vorzustellen, besteht also darin, die Vektorfelder zu betrachten, die die Metrik unverändert lassen. Das heißt, wenn ich die Metrik an einem Punkt nehme$p$und bis zu einem Punkt schieben$q$Wenn ich ein gegebenes Vektorfeld verwende, erhalte ich genau die Metrik, die wir an diesem Punkt erwarten$q$.

Dieses Vektorfeld wird Killing Vector Field genannt . Die zugehörigen Diffeomorphismen heißen Isometrien der Metrik.

Um diesen Formalismus zu vervollständigen, müssten Sie also den Begriff der Lie-Ableitung vollständig verstehen. Ich habe bereits viel Zeit mit Formalismus verbracht, also werde ich diesen Teil übersehen. Die Idee ist jedoch, dass ich, wenn mir ein Vektorfeld gegeben ist, eine Ableitung in Bezug auf dieses Vektorfeld definieren kann, indem ich den Wert eines Tensorfelds in einiger Entfernung entlang einer Integralkurve nehme und ihn auf die definierte Weise entlang der Kurve zurückziehe durch Push-Forwards, Subtrahieren des Wertes, den ich vom tatsächlichen Wert des Tensorfeldes an Punkt erhalte$p$, dividiert durch den Abstand entlang der Kurve und nimmt den Grenzwert.

Das einzige, was Sie aus dieser Diskussion wirklich wissen müssen, ist, dass, da Symmetrien der Metrik zu Kurven führen, die die Metrik unverändert lassen, wir schlussfolgern, dass ein Vektorfeld genau dann eine Symmetrie der Metrik ist, wenn die Lie-Ableitung der Metrik bezüglich dieses Vektorfeldes ist Null.

Wir haben also gesagt, dass ein Killing Vector Field ein Vektorfeld ist, das einer Symmetrie der Metrik entspricht. Wir folgern: Ein Vektorfeld ist genau dann ein Killing-Vektorfeld, wenn seine Lie-Ableitung Null ist.

Wir sind fast da, versprochen. Hier wird es gut.

Vermuten$v^a$ist ein Killing Vector Field auf einer Raumzeit$(M, g_{ab})$. Wir bezeichnen die Lie-Ableitung bzgl$v^a$als$\mathscr{L}_v$. Es gibt eine Formel für die Lie-Ableitung eines allgemeinen Tensors, die ich auslassen werde. Der Punkt ist, dass wir wissen, dass die Lie-Ableitung der Metrik Null ist. Also haben wir

$$0 = \mathscr{L}_v g_{ab} = v^c \nabla_c g_{ab} + g_{cb} \nabla_a v^c + g_{ac} \nabla_b v^c = v^c \nabla_c g_{ab} + \nabla_a v_b + \nabla_b v_a.$$

Da wir das vorhin schon gesagt haben$\nabla_c g_ab = 0$, dies reduziert sich auf

$$\nabla_a v_b + \nabla_b v_a = 0.$$

Also erfüllt jedes Killing Vector Field diese Eigenschaft.

Hier beanspruche ich endlich die endgültige Form von Noethers Theorem:

Bei einem Killing Vector Field$v^a$(dh eine glatte Symmetrie der Metrik) und eine Geodäte mit Tangente$u^a$, das innere Produkt$u^a v_a$wird entlang des Pfades der Geodätischen konserviert.

Was bedeutet es für eine Menge$C$auf dem Weg einer Geodäte konserviert werden? Das bedeutet es$u^a \nabla_a C = 0.$Also werten wir aus:

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = (u^a \nabla_a u^b) v_b + u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Seit$u^a$ist der Tangentenvektor an eine Geodäte,$u^a \nabla_a u^b = 0$nach Definition einer affin parametrisierten Geodäte. Also haben wir

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Seit$a, b$Dummy-Variablen sind, können wir sie austauschen. Aber wir haben auch$\nabla_a v_b = - \nabla_b v_a$, was wir früher als eine Folge der Tatsache bewiesen haben, dass$v^a$ist ein Killing Vector Field. Letztendlich haben wir also

$$u^b (u^a \nabla_a v_b) = u^a (u^b \nabla_b v_a) = - u^a (u^b \nabla_a v_b) = - u^b (u^a \nabla_a v_b).$$

Diese Größe ist gleich ihrem eigenen Negativ, also haben wir

$$u^a \nabla_a (u^b v_b) = u^b (u^a \nabla_a v_b) = 0.$$

Das ist ein ziemlicher Bissen, aber da ist es: Noethers Theorem. Wenn wir ein Vektorfeld haben$v^a$so dass das Drücken der Metrik$g_{ab}$entlang$v^a$lässt die Metrik unverändert, dann wird jede mit einem Tangentenvektor beobachtet$u^a$wird beobachten, dass die Menge$u^a v_a$bleibt im Laufe ihrer Bewegung unverändert.

Sie sind vermutlich mit der Idee vertraut, dass "Energie die Erhaltungsgröße ist, die der Zeit-Translations-Symmetrie entspricht". Nun, wenn die Metrik$g_{ab}$nicht explizit zeitabhängig ist, dann der Vektor$\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$ist ein Killing Vector Field. Wir definieren die Energie eines Systems gemessen von einem Beobachter mit Tangentenvektor$u^a$sein

$$E = - u_a \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$$ .

Die Tatsache, dass eine Metrik zeitunabhängig ist, impliziert dies$\left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a$ist ein Killing Vector Field, was der Aussage entspricht, dass Energie erhalten bleibt.

Angenommen, Ihre primäre Frage betrifft den Satz von Noether, wann$\mathcal{L} \ne T - V$, können wir wie folgt vorgehen. Bezeichnet die verallgemeinerten Koordinaten mit$q_i$, betrachten wir eine Transformation$q_i \rightarrow q_i + \delta q_i$was den Lagrange verlässt$\mathcal{L}(q_i, \dot{q}_i)$unveränderlich:

$$\delta \mathcal{L} = 0$$ dh $$\sum_i \left( \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}\delta q_i + \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right) = 0$$ Nun sind die Bewegungsgleichungen $$\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}$$ Wir können dies im Ausdruck für die Variation in ersetzen $\mathcal{L}$zu bekommen $$\sum_i \left(\left(\frac{d}{dt}\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta q_i + \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\left(\frac{d}{dt} \delta q_i\right)\right) = 0$$ Wir können jetzt die Begriffe kombinieren: $$\frac{d}{dt}\left(\sum_i\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i\right) = 0$$ Also die Menge $Q = \sum_i \frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}\delta q_i$bis auf einen konstanten Multiplikator erhalten bleibt.

Betrachten wir nun die Aktion:

$$S = m\int ds = m\int \sqrt{g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b} dt$$ der Lagrange ist $\mathcal{L} = m\sqrt{g_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}$. Als solches hängt davon ab, welche Transformation diese Invariante verlässt $g_{ab}$. Wenn wir zum Beispiel davon ausgehen $g_{ab} = \eta_{ab}$, die Minkowski-Metrik, dann ist die Lagrange-Funktion invariant unter Verschiebungen $x^a \rightarrow x^a + c^a$und wir erhalten die Erhaltungsgröße: $$Q = \eta_{ab}c^a\frac{m\dot{x}^b}{\sqrt{\eta_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}} = p_a c^a$$ Das gilt jetzt für alle $c^a$, und daher der Koeffizient jeder Komponente $c^a$muss ebenfalls erhalten bleiben (wie man sieht, wenn man die anderen Komponenten auf Null setzt). Daher sind die Erhaltungsgrößen: $$p_a = \eta_{ab} \frac{m\dot{x}^b}{\sqrt{\eta_{ab}\dot{x}^a\dot{x}^b}}$$ Dies ist im Wesentlichen die Erhaltung des 4-Impulses eines freien Teilchens in der speziellen Relativitätstheorie.

Obwohl die Antwort von users35736 sicherlich richtig ist und die Frage alt ist, sollte meiner Meinung nach beachtet werden, dass jeder Killing-Vektor$\xi^i$, führt auch zu einem Noetherstrom:$J^i = T_j{}^i\xi^j$. Notieren Sie sich das zunächst

$$J^i{}_{;i} = T^{ji}\xi_{i;j} + \xi_jT^{ji}{}_{;i} = 0,$$ nach der Killing-Gleichung $\xi_{(i;j)} = 0$, die Symmetrie des Spannungs-Energie-Tensors $T^{ij} = T^{(ij)}$, und die verschwindende Divergenz des Spannungs-Energie-Tensors $T^{ji}{}_{;i} = 0$.

Betrachten Sie dann den Hodge-Sternoperator$*: \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)$von denen wir annehmen können, dass sie definiert sind

$$*\alpha = \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\alpha^{\vec{J}}\epsilon_{\vec{J}\vec{I}}\omega^{\vec{I}},$$ Wo $\omega^i$ist das lokale Rahmenfeld eingeschaltet $T^*M$, $\epsilon_{i_1\ldots i_n}$ist der $n$-dimensionales Levi-Civita-Symbol und $\vec{I},\vec{J},\ldots$bezeichnen streng wachsende Multi-Indizes geeigneter Länge (oben $\vec{J}$ist von Länge $k$Und $\vec{I}$ist von Länge $(n-k)$). Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir $\varepsilon_{I} := \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\epsilon_{I}$der Levi-Civita-Tensor sein.

Im Fall einer 1-Form ist das Hodge-Dual im Wesentlichen a$(n-1)$-Form vollständig orthogonal zur ursprünglichen 1-Form. Für lassen$\alpha_i$sei die 1-Form, dann Kontraktion auf irgendeinem Index mit$*\alpha$Erträge

$$\alpha^i\alpha^j\varepsilon_{ik_1\ldots k_{r-1} j k_{r+1} \ldots k_n} = 0.$$

Es sollte daher nicht überraschen, dass der Hodge-Sternoperator verwendet werden kann, wenn Strömungen über eine Oberfläche betrachtet werden. Betrachten Sie zur Präzisierung eine Hyperfläche,$\Sigma$, definiert durch die Normale$\eta_i$, die wir zunächst als nicht null und normalisiert annehmen. Dann das Flächenelement von$\Sigma$wird von gegeben$*\eta$, und durch Notationsmissbrauch können wir das gerichtete Oberflächenelement mit bezeichnen$d\Sigma_i := \eta_i{*\eta}$. Wir können aber auch schreiben

$$d\Sigma_i = \varepsilon_{i\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_\Sigma,$$ Wo $|_\Sigma$bezeichnet die Projektion auf die Oberfläche $\Sigma$. Um diese zu sehen, beachten Sie diese Kontraktion mit $\eta_i$erzeugt das gleiche Ergebnis für beide Ausdrücke von $d\Sigma_i$, ebenso wie die Kontraktion mit jeder 1-Form oder jedem Vektor, der orthogonal zu ist $\eta_i$. Der letztere Ausdruck ist jedoch auch für Null-Hyperflächen wohldefiniert und gibt durch Stetigkeit auch in diesen Fällen das gerichtete Flächenelement an.

Für den durch den Noetherstrom beschriebenen Fluss$J^i$, dh der Fluss der$\xi^i$Komponente der Energie-Impuls, der Gesamtfluss über$\Sigma$wird von gegeben$\int_\Sigma J^id\Sigma_i$. Nehmen Sie jetzt an, dass$\Sigma$ist eine geschlossene Hyperfläche, die ein ausreichend gut benommenes 4-Volumen umschließt$V$dann durch den Satz von Stokes auf glatten Mannigfaltigkeiten

$$\oint_\Sigma J^id\Sigma_i = \int_V d\left(J^id\Sigma_i\right) = \int_V J^i{}_{;i}dV = 0.$$

Abhängig von Ihren Vorlieben kann der endgültige Ausdruck in einem Koordinatenrahmen aus der Formel bestätigt werden

$$X^j{}_{;j} = \frac{1}{\sqrt{|\det g|}}\left(\sqrt{|\det g|}X^j\right)_{,j},$$ die in Koordinatensystemen gültig ist und aus der Jacobi-Formel für die Ableitung einer Determinante folgt; in einem starren Rahmen aus der ersten Cartan-Gleichung $$d\omega^i = \omega^j\wedge\gamma^i{}_j,$$ Wo $\gamma^i{}_j$sind die Verbindungsformen; und in einem gemischten Rahmen aus beiden.