Sind differenzielle geometrische und physikalische Konventionen für kovariante Ableitungen konsistent?

In einer differentiellen geometrischen Umgebung kann die kovariante Ableitung als Karte definiert werden ∇ X : Γ ( T M ) → Γ ( T M ) , für jedes Vektorfeld X ∈ Γ ( T M ) , bestimmte Voraussetzungen erfüllen. Mit anderen Worten, für jedes Vektorfeld werden Vektorfelder auf andere Vektorfelder abgebildet. Diese Definition lässt sich dann leicht auf Abbildungen zwischen beliebigen Tensorfeldern erweitern. Gegeben eine lokale Basis { ∂ ich } ich um einige P ∈ M , es kann über die Christoffel-Symbole charakterisiert werden als

(1) ∇ ich ∂ J ≡ ∇ ∂ ich ∂ J = Γ     ich J k ∂ k .
In ähnlicher Weise erhalten wir lokale Ausdrücke wie
(2) ∇ ich Y = ∇ ich ( Y J ∂ J ) = ( ∂ ich Y J + Y ℓ Y k Γ   ℓ k J ) ∂ J .

So weit, ist es gut. Meine Verwirrung entsteht, wenn ich versuche, dies mit der Notation abzugleichen, die in eher physikalischen Kontexten verwendet wird. Betrachten Sie zum Beispiel diese Vorlesungsnotizen ( [29:46] auf youtube ). Hier bezeichnen sie die kovariante Basis als S → a , und schreiben Sie das Christoffel-Symbol als

(3) Γ   a β γ = S → γ ⋅ ∂ β S → a .
Wenn sie dies schreiben, gehen sie davon aus, dass es sich um eingebettete Oberflächen handelt, daher ist es immer noch sinnvoll, die Standardableitung zu nehmen, und ich kann diesen Ausdruck mit (1) abgleichen, indem ich annehme, dass die kovariante Ableitung die Projektion der Standardableitung auf die tangentiale Oberfläche ist .

Aus (3) leiten sie sich jedoch ab

(4) S → γ ⋅ ( ∇ a S → β ) = S → γ ⋅ ( ∂ a S → β − Γ   a β ω S → ω ) = 0.
Dies scheint nun in direktem Gegensatz zu (1) zu stehen, as S → a in (4) sollte der lokalen Basis für den Tangentialraum entsprechen, ∂ ich , in 1). In der Tat, nach dieser Notation, ∇ a S → β ist normal zur Oberfläche, was in direktem Gegensatz zur Definition der kovarianten Ableitung in (1) zu stehen scheint, einem Objekt, das Tangentenvektoren in Tangentenvektoren abbildet. Also was gibt? Warum stehen diese beiden Notationen scheinbar im Gegensatz? Gibt es einen formelleren Weg, um genau zu verstehen, welche Art von Objekt die kovariante Ableitung in der letzteren Konvention ist?

Meinen Sie mit "eingebetteten Oberflächen" eine Mannigfaltigkeit, die in den euklidischen Raum eingebettet ist? Meinen Sie mit "Standardableitung" auch die kanonische Verbindung im euklidischen Raum, die sich aus dem natürlichen Isomorphismus ergibt?
@VincentThacker Ich bin mir nicht ganz sicher, wie die hier zugrunde liegenden Ideen (3) und (4) formalisiert sind. das ist de facto ein Teil dessen, was ich hier frage, denke ich. Mein Verständnis ist, dass "eingebettet" so verstanden wird, wie Sie sagen, ja; "Standardableitung" sollte die Richtungsableitung bedeuten, die im Einbettungsraum genommen wird (was meiner Meinung nach auch mit dem übereinstimmt, was Sie sagen). Also was schreibe ich mit ∂ a S → β Hier
Okay, Ihre Gleichung (4) ist offensichtlich falsch. Es gibt im Allgemeinen keinen Grund dafür, dass die kovariante Ableitung eines Vektors mit allen Basisvektoren ein Punktprodukt von Null hat. Dies gilt nur, wenn es sich um den Nullvektor (oder die Normale zur Oberfläche) handelt. Entweder ist die Notation falsch oder Sie haben die auf der Mannigfaltigkeit definierten Größen mit denen verwechselt, die im umgebenden (euklidischen) Raum definiert sind.
@VincentThacker das ist auch mein Verständnis. Tatsächlich sagen sie das in den verlinkten Vorträgen ∇ A S → B ist normal zur Oberfläche, was in direktem Gegensatz zu der kovarianten Ableitung als einem Objekt zu stehen scheint, das per Definition Tangentenvektoren als Ausgabe liefert. Dies lässt mich denken, dass es in diesem Zusammenhang eine andere Art gibt, "kovariante Ableitung" zu verstehen, was ich ziemlich genau frage. Trotzdem habe ich diese Regeln des Wie gesehen ∇ a wirkt in der Physikliteratur ziemlich oft auf Objekte mit erhöhten/erniedrigten Indizes, und Formeln wie (4) scheinen eine direkte Folge davon zu sein

Antworten (1)

Ich habe dasselbe Buch gelesen wie das, das Sie verlinkt haben, und ich kann sagen, dass es einige technische Ungenauigkeiten enthält, die sich langsam zu der Verwirrung aufbauen, die Sie gerade haben. Ich werde versuchen, sie der Reihe nach aufzulisten. Ich werde die standardmäßige kovariante Basis mit bezeichnen e ich , und ich werde griechische Buchstaben für Oberflächenindizes und das englische Alphabet für Umgebungsindizes (euklidischer Raum) verwenden.

  1. Es gibt keine "kontravarianten Basisvektoren". Was das Buch als "kontravariante Basisvektoren" bezeichnet, sind eigentlich Basis-Covektoren. Mit anderen Worten, sie sind Einsformen, die lineare Abbildungen von Vektoren zu Skalaren sind. Daher Ausdrücke wie

    e ich ⋅ e J = δ J ich
    sind falsch, weil Sie nicht das Skalarprodukt eines Objekts nehmen können, das nicht einmal ein Vektor ist. Stattdessen sollte der richtige Ausdruck sein
    e ich ( e J ) = δ J ich
    wo die Eins-Form e ich wirkt auf den Vektor e J . Die anderen Ausdrücke sollten alle entsprechend geändert werden.

  2. Von Anfang an verwendet das Buch eine falsche Definition von ∇ ich e J im euklidischen Raum als

    ∇ ich e J = ∂ e J ∂ X ich − Γ ich J k e k = 0
    Das ist eine richtige Bewertung, aber eine falsche Definition. Das behandelte Buch e J Als ein ( 0 , 1 ) Tensorkomponente mit einem niedrigeren Index, was mit Sicherheit falsch ist e J ist ein Vektor, der ist ( 1 , 0 ) .
    Der richtige Weg, um die kovariante Ableitung für einen Vektor zu definieren v = v ich e ich Ist
    ∇ ich v M = ( ∇ v ) ( e ich , e M ) = ( ∇ v ) ich M = ∂ v M ∂ X ich + Γ ich k M v k ∇ ich v = ( ∂ v M ∂ X ich + Γ ich k M v k ) e M
    wobei zu beachten ist, dass die v M Und v k sind die Bestandteile von v das sind Zahlen . Daher die richtige Art zu berechnen ∇ ich e J ist zu lassen v = e J in der obigen Definition. Die Komponenten sind daher alle Null außer der J -te, die gleich eins ist. Alle von ihnen sind konstant, also der erste Term ∂ v M / ∂ X ich ist Null. Wenden wir die gleiche Logik auf den zweiten Term an, sehen wir, dass der einzige nicht verschwindende Term in der Summe der ist J -te, die gibt Γ ich J M ( 1 ) = Γ ich J M . Wenn wir die Basis aus der zweiten Zeile oben hinzufügen, haben wir
    ∇ ich ( e J ) = Γ ich J M e M = ∂ ich e J
    das ist genau das der partiellen Ableitung. Dies ist richtig, weil die (Levi-Civita-Verbindung) kovariante Ableitung im euklidischen Raum einfach die partielle Ableitung ist, weil ihre affine Natur einen kanonischen parallelen Transport liefert. Es ist definitiv nicht null, anders als das Buch behauptet.

  3. All dies führt zu der falschen Aussage, dass ∇ a e β ist normal zur Oberfläche. Das ist es ganz sicher nicht. Die oberflächenkovariante Ableitung ∇ a ist einfach die euklidische partielle Ableitung entlang der Oberflächenkoordinate S a , wobei die normale Komponente entfernt wurde. Der Grund für den Fehler liegt wieder einmal darin, dass das Buch die falsche Definition verwendet hat

    ∇ a e β = ∂ e β ∂ S a − Γ a β γ e γ
    was zu dem falschen Schluss führt, dass ∇ a e β = 0 an der Oberfläche. Allgemein, ∂ a e β lebt im umgebenden euklidischen Raum und hat daher sowohl normale als auch tangentiale Komponenten zur Oberfläche. Die Normalkomponente ist durch die zweite Grundform gegeben ICH a β multipliziert mit dem Einheitsnormalenvektor N ^ , während die tangentiale Komponente die kovariante Oberflächenableitung ist ∇ a e β = Γ a β γ e γ , was genau analog zu der korrekten Definition ist, die ich oben für den euklidischen Raum gegeben habe. Diese Formel stimmt auch genau mit der auf einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit überein (wo angenommen wird, dass der umgebende euklidische Raum nicht existiert). Mit anderen Worten, wir haben
    ∂ a e β = Γ a β γ e γ + ICH a β N ^ = ∇ a e β + ICH a β N ^

Weitere Informationen zum ersten Punkt finden Sie in diesem Beitrag . Weitere Informationen darüber, warum die Definition des Buchs falsch ist, finden Sie in diesem Beitrag . Zu guter Letzt, für die korrekten Ableitungen, sehen Sie sich dieses Video an , das es sehr klar erklärt.

Den ersten Punkt verstehe ich nicht ganz. Was ist das Problem bei der Definition einer dualen Basis für die kovarianten Basisvektoren (vorausgesetzt, wir haben eine Riemannsche Metrik)? Ich kann verstehen, dass man auch differentielle 1-Formen verwenden kann, aber warum können wir nicht auch die "kontravarianten Basisvektorfelder" über definieren e a = G a β e B mit G a β Komponenten der Umkehrung der Metrik?
Ihr zweiter Punkt schwingt aber. Wenn ich das verstehe, sagen Sie, dass die "kovarianten Basisvektoren" letztendlich immer noch Vektorfelder sind und daher die kovariante Ableitung über die Standardregeln (dh mit dem Pluszeichen) auf sie einwirken sollte.
@glS Siehe den von mir verlinkten Beitrag: physical.stackexchange.com/a/334230 und die in NO! hervorgehobenen Zeilen. Mein erster Punkt bezieht sich nicht unbedingt auf Ihre Frage, aber ich wollte nur einige Verwirrung beseitigen, die das Buch bei mir selbst verursacht hat. Auf Mannigfaltigkeiten wird meines Wissens jedenfalls die Ein-Form-Definition der kontravarianten Basis als Standard verwendet.
@glS Ja, das ist richtig. Jemand anderes stieß auch auf denselben falschen Ausdruck, wie die dritte Gleichung in diesem Beitrag zeigt ( Physics.stackexchange.com/q/281590 ). Der Punkt ist, dass es im euklidischen Raum nur eine Art von Ableitung gibt (die gewöhnliche partielle Ableitung), weil die affine Verbindung trivial bereitgestellt wird. Es ist nur so, dass wir auf einer in diesen Raum eingebetteten Oberfläche die Ableitung entlang der Oberflächenkoordinatenlinie nehmen S a wie wir es normalerweise tun würden, und teilen Sie das in tangentiale und normale Komponenten auf.
@bolbteppa Ich bin mir voll und ganz bewusst, was Sie gerade gesagt haben. Was ich sage ist, dass die ich In e ich ist nicht dasselbe wie ein kovarianter Index einer Tensorkomponente. e ich ist ganz sicher kein ( 0 , 1 ) Tensor. Es ist ein Vektor mit Komponenten und Basis wie andere Vektoren. Auf Verteilern, e ich ist definitionsgemäß ∂ / ∂ X ich .
@bolbteppa Zu deinem ersten Punkt, v = v ich e ich ist ein Vektor aber v ich e ich ist ein Covektor. Sie sind wirklich nicht dasselbe. Dies können Sie durch Fütterung nachweisen v in die Metrik: G ( v ) = G ich J e ich ⊗ e J ( v k e k ) = ( G ich J v J ) e ich . Um den Index zu erhöhen, geben Sie in ähnlicher Weise einen Covektor in die inverse Metrik ein.
Ich frage mich jedoch, ob dies auf andere Weise sinnvoll gemacht werden kann. Was wäre, wenn wir eine kovariante Ableitung definieren , die die Basisvektoren tötet, so dass ∇ ich e J = 0 ? Diese kovariante Ableitung hätte also bezüglich dieser Basis verschwindende Christoffel-Systeme, und ∇ ich ( v J e J ) = ( ∂ ich v J ) e J . Gleichzeitig beim Schreiben ∂ ich ( v J e J ) = ( ∂ ich v J ) e J + Γ ich k J v k e J , würden wir effektiv mit einer anderen kovarianten Ableitung arbeiten, derjenigen im flachen Umgebungsraum, die somit nur die Richtungsableitung ist
das würde bedeuten, dass der Christoffel Γ ich J k in diesen Ausdrücken sind die Christoffel, die die umgebende kovariante Ableitung charakterisieren, nicht diejenigen, die charakterisieren, was sie schreiben ∇ . Wenn wir dann auf einen gekrümmten eingebetteten Verteiler wechseln, wird dies ∇ ist im Wesentlichen so gebaut , dass ∇ ich e J ist orthogonal zur eingebetteten Oberfläche, und der Rest folgt. Zugegeben, ich würde es nicht sehen ∇ ich e J = 0 als Konsequenz e J mit "kovarianten Indizes", sondern als definierende Eigenschaft von ∇ , das sich formal so verhält, wie man es naiv erwarten könnte
@glS Ich bin mir nicht ganz sicher, was du sagen willst. Wenn Sie die kovariante Ableitung auf Basisvektoren als Null definieren, definieren Sie im Wesentlichen ∇ ~ ich e J = ∇ ich e J − Γ ich J M e M = 0 , Wo ∇ ~ ist Ihre "kovariante Ableitung" und ∇ ist die kovariante Standardableitung. Auf den ersten Blick sieht es so aus ∇ ~ ich e J wird nicht einmal ein Tensor sein, weil Γ ich J M ist kein Tensor. Daher macht es keinen Sinn, es so zu definieren, da die ganze Idee einer kovarianten Ableitung darin besteht, Tensoren auf Tensoren abzubilden.
@glS Ich glaube, Sie verstehen die Schlüsselidee immer noch nicht: Im euklidischen Raum ist die kovariante Ableitung die partielle Ableitung, da der Tangentenraum an jedem Punkt kanonisch isomorph zum euklidischen Raum selbst ist. Dies ist das ganze Prinzip, warum wir im euklidischen Raum Vektoren an verschiedenen Punkten addieren und subtrahieren und damit Vektorrechnungen durchführen können. Die (falsche) Definition des Buches wird daher überall trivial Null sein. Es gibt also wirklich nur eine Ableitung in dieser ganzen Situation, die ich gerade erwähnt habe.
@glS Denken Sie bei der in den umgebenden euklidischen Raum eingebetteten Oberfläche daran, dass jede Koordinatenlinie in der Oberfläche auch eine Linie im umgebenden Raum ist. Die "oberflächenkovariante Ableitung" ist also nur die Tangentialkomponente der Ableitung in Bezug auf die Linie.
Warum sagen Sie, dass dies keine gültige kovariante Ableitung ist? Lassen ∇ sei die standardmäßige kovariante Ableitung im flachen Umgebungsraum, also gleich der standardmäßigen Richtungsableitung. Lassen ∇ ' sei die standardmäßig induzierte kovariante Ableitung in der eingebetteten Oberfläche, die solche, dass ∇ ich e J = Γ ich J k e k für e ich Tangentenvektoren an die Oberfläche. Definieren Sie nun die Verbindung ∇ ″ ≡ ∇ − ∇ ' . Dann ∇ ich ″ e J ist immer orthogonal zur eingebetteten Oberfläche (also Null, wenn diese auch flach ist). Ich sage, sie benutzen ∇ ″ .
@glS Ich verstehe, was du jetzt sagen willst. Ja, Ihre Definition ist einfach die normale Komponente ICH a β N ^ . Beachten Sie jedoch, dass dies nur auf einer in den euklidischen Raum eingebetteten Oberfläche sinnvoll ist. Das Anwenden auf einen nicht eingebetteten Verteiler wird trivial Null sein, da es keinen Umgebungsraum und keine normale Komponente gibt, um damit zu beginnen.
Sind differenzielle geometrische und physikalische Konventionen für kovariante Ableitungen konsistent?
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