Gradient, Divergenz und Curl mit kovarianten Ableitungen

Für den Gradienten besteht Ihr Fehler darin, dass die Komponenten des Gradienten kontravariant variieren. Darüber hinaus gibt es ein Problem mit der Normalisierung, das ich weiter unten bespreche. Ich weiß nicht, ob Sie mit Differentialgeometrie vertraut sind und wie sie funktioniert, aber im Grunde genommen schreiben wir einen Vektor als$v^\mu$Wir schreiben seine Komponenten wirklich in Bezug auf eine Basis.

In der Differentialgeometrie sind Vektoren Einheiten, die auf Funktionen wirken$f : M \rightarrow \mathbb{R}$auf dem Verteiler definiert. Sagen Sie mir, wenn Sie möchten, dass ich das näher erläutere, aber dies impliziert, dass die Basisvektoren durch einen Satz von Koordinaten gegeben sind$\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$und kovariant variieren. Nennen wir diese Basisvektoren$e_\mu$um zur "gewohnten" linearen Algebra-Notation zurückzukehren.

Wenn man das weiß, ist jeder Vektor eine Invariante, die geschrieben werden kann als$\vec{V} = V^\mu \partial_\mu$. Der Schlüssel hier ist, dass es unveränderlich ist, also ist es gleich, egal welche Koordinatenbasis Sie wählen.

Nun wird der Gradient im euklidischen Raum einfach als Vektor mit Koordinaten definiert$\partial_i f = \partial^if$Wo$i = \{x,y,z\}$. Beachten Sie, dass in kartesischen Koordinaten kovariante und kontravariante Komponenten gleich sind. Also ist die invariante Größe$\vec{\nabla}f = \partial^ife_i$. Beachten Sie, dass nach dem, was wir zuvor getan haben, die Komponenten eines Vektors als kontravariant zu behandeln sind.

Da dieser Ausdruck unveränderlich ist, erhalten wir im Allgemeinen Koordinaten$\vec{\nabla}f = \partial^\mu fe_\mu$. Was Sie also suchen, wenn Sie die Komponenten berechnen, ist$\partial^\mu f = g^{\mu\nu}\frac{\partial f}{\partial x^\nu}$. Das gibt$\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r + \frac{1}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta +\frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi$. Das ist immer noch nicht das, wonach wir suchen.

Dies liegt daran, dass die Basisvektoren nicht normiert sind. Nehmen Sie in der Tat einen bestimmten Vektor$e_I$. Seine Bestandteile sind$\delta^\mu_I$per Definition (es ist ein Basisvektor). Dann,$|e_I|^2 = e_I^\mu e_I^\nu g_{\mu\nu} = g_{II}$. Großartig dann! Verwenden$e_i' = e_i/\sqrt{g_{ii}}$als normalisierte Basisvektoren erhalten wir die richtige Antwort:$\vec{\nabla}f = \frac{\partial f}{\partial r} e_r' + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} e_\theta' +\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi} e_\phi'$

Kommen wir zur Divergenz. Es scheint einfacher zu sein, da es sich um einen Skalar handelt und es keinen Basisvektor gibt, mit dem man herumspielen kann. Nun, eigentlich sind damit noch einige Probleme verbunden. Ihre Formel ist wieder richtig, außer dass Sie die unveränderliche Formel schreiben$\nabla_\mu V^{\mu}$Sie verwenden implizit die Basis, die wir zuvor definiert haben. Dies bedeutet, dass Sie nicht auf einer normalisierten Basis arbeiten. Wir wissen, dass die$\vec{V}$Sie verwendet ist$\vec{V} = V^\mu e_\mu = V^\mu \sqrt{g_{\mu\mu}}e_\mu'$. Um die Formel zu vergleichen, müssen Sie also den Vektor in Bezug auf die normalisierten Koordinaten einführen.$A^\mu= V^\mu\sqrt{g_{\mu\mu}}$. Ich lasse Sie es in Ihre (richtige) Formel stecken, um zu sehen, ob es funktioniert.

Zusammenfassend sollte Ihre Formel für die Locke stimmen. Achten Sie nur darauf, die richtigen Normalisierungen für die Vektoren zu verwenden, und Sie sollten in Ordnung sein (achten Sie auch auf die Tensorform des Levi-Civita-Tensors, die die Determinante der Metrik beinhaltet). Ich habe nicht den Glauben, die Berechnungen für Sie durchzuführen, aber Sie sollten es auf jeden Fall versuchen, um sicherzustellen, dass Sie es gut verstanden haben.

PS: Nur der Vollständigkeit halber, für die Divergenz gibt es eine recht nützliche Formel, die auch im Buch von Sean Caroll verwendet wird:$\vec{\nabla}\cdot\vec{V} = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_\mu(\sqrt{g}V^\mu)$, nützlich, wenn Sie zu faul sind, Christoffels zu berechnen.

Der Gradient ist ein Vektor, kein Covektor, daher:

Ich habe zwei YouTube-Videos erstellt, in denen erklärt wird, wie genau diese Probleme behoben werden können.

Der erste erklärt, wie man standardmäßige kovariante Ableitungen (was Sie verwenden) verwendet, um die Divergenz und den Gradienten in sphärischen Koordinaten zu berechnen:

https://www.youtube.com/watch?v=jEvPY6-ISUI

Und der andere erklärt, wie man die Drehung in sphärischen Koordinaten mit kovarianten Ableitungen berechnet:

https://www.youtube.com/watch?v=ZatyvboG58Q

Sie zeigen die explizite Berechnung für alle drei Operatoren und erklären die Prinzipien hinter dem Verfahren, so dass es in Zukunft leicht auf andere Fälle angewendet werden kann. Sie beantworten buchstäblich genau Ihre Frage.

Dieses Problem wird wirklich gut angesprochen in Weinbergs Gravitation and Cosmology, Kapitel 4 ig, ich erinnere mich richtig. Grundsätzlich gibt es einen Punkt, der zu Verwirrung führt: In der Physik werden orthogonale Koordinaten verwendet, zum Beispiel Kugel- oder Zylinderkoordinaten. Dies führt zu einem diagonalen Linienelement. Dadurch können die natürlichen Basisvektoren normalisiert werden . Wenn also die Diagonalelemente aufgerufen werden$h_i$dann ist ein 'Vektor' V in der Physik weder ein kovarianter noch ein kontravarianter Vektor, sondern$V_j = h_j W_j$mit W ein Vektor und keine Einstein-Summierung. Um also von Mathematik zu Physik und zurück zu gelangen, müssen Sie den Überblick behalten$h_i$.

Sie brauchen Differentialformen

Für die Divergenz : aus Grundkenntnissen über Differentialformen können wir das ableiten

In beliebig vielen Dimensionen haben wir auch