Notation für die Divergenz eines Tensors vom Rang 2

Ich denke, dass die Frage in den Kommentaren beantwortet wurde, aber Ihr Hauptanliegen scheint zu sein: "Wie würden Sie diese in Vektornotation bezeichnen?".

---

Meine Antwort darauf ist entweder (1) Sie tun es nicht oder (2) wenn Sie müssen, haben Sie die Freiheit, es so zu bezeichnen, wie Sie möchten. Der Grund dafür, dass es keine Standardvereinbarung über eine "Vektor" -Notation gibt, liegt darin, dass es mit Tensoren mit Rang größer als 1 viel verwirrender wird, als es wert ist.

Aus diesem Grund empfehle ich Option (1)

---

Beispiel : Angenommen, Sie möchten die Ableitung nach dem zweiten Index eines Tensors bilden. Dann kannst du entweder schreiben

$$\partial_{i_2} T^{i_1i_2 \cdots} \qquad or \qquad\vec{\mathcal{D}}\ \cdot \stackrel{\leftrightarrow}{T}$$

Meiner Meinung nach ist die zweite Gleichung im Wesentlichen nutzlos und vor allem verwirrend. Das Problem mit dem rechten ist, dass Sie versuchen, viel zu viele Informationen in eine Vektornotation zu packen. Das funktioniert find, wenn Sie einen einzigen Index haben, verliert diesen Reiz jedoch proportional zur Anzahl der Indizes, die Ihr Tensor hat.

Wenn Sie versuchen, die "Vektor"-Notation auf der rechten Seite zu retten, werden Sie höchstwahrscheinlich die Notation auf der linken Seite erfinden, da sie in jeder Hinsicht überlegen ist.

In dieser Antwort verwende ich$x=x_1, y=x_2, z=x_3$und Einstein-Notation . Nehmen wir Tensor A

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \\ \end{bmatrix}$$

Auf Wikipedia habe ich in diesem Artikel folgende Informationen gefunden (im Artikel verwenden sie S anstelle von A) für das kartesische Koordinatensystem:

$$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ki,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{21}}{\partial y} + \frac{\partial a_{31}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{12}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{32}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{13}}{\partial x} + \frac{\partial a_{23}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

Das Ergebnis ist ein kontravarianter (Spalten-)Vektor. Aber in diesem Artikel wird das erwähnt$\mathrm{div}(A) \neq \nabla\cdot A$Und

$$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A^T = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{12}}{\partial y} + \frac{\partial a_{13}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{21}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{23}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{31}}{\partial x} + \frac{\partial a_{32}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

Wenn A symmetrisch ist:$a_{ij}=a_{ji}$Dann$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A$

Wiki erwähnt auch, dass einige Autoren alternative Definitionen verwenden:$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i$wahrscheinlich nur für den Fall, dass A symmetrisch ist (für den diese alternative Definition gleich dem Original ist). Die alternative Definition ist jedoch NICHT mit der allgemeinen krummlinigen Definition kompatibel, die ich auch im Wiki gefunden habe:

$$\nabla\cdot A = \left(\cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}- A_{li}~\Gamma_{kk}^l - A_{kl}~\Gamma_{ki}^l\right)~\mathbf{g}^i$$

Derzeit weiß ich nicht, was die genaue Definition von: 𝐠𝑖 ist - wahrscheinlich wird es so etwas wie 𝐞𝑖 geben