Feynmans tiefgestellte Notation

Zunächst einmal sage ich jedem Schüler, der mich nach solchen Ausdrücken fragt, dass er aufhören soll, sich an all diese unendlichen Regeln zu erinnern, und das mit Kronecker-Delta und Levi-Civita- Symbolen zu lernen. Ihr anfänglicher Ausdruck sieht beispielsweise so aus:

$$\mathbf{A}\times[\nabla\times\mathbf{B}]=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}\partial_lB_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m$$ Wie Sie sehen können, brauchen Sie sich, wenn Sie es so geschrieben haben, nicht mehr um die Nichtkommutativität des Kreuzprodukts zu kümmern. Sie können also diese Levi-Civitas nehmen und die Transformation durchführen: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$$ Zuerst habe ich nur eine zyklische Permutation der Indizes vorgenommen, und die zweite Gleichheit ist die einzige Gleichheit , die Sie sich merken müssen (was wirklich einfach ist: gleiche Indizes gehören zu "+" und vertauschte Indizes zu "-"). Setzt man das ein, erhält man: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m = \delta_{il}\delta_{jm}A_j\partial_lB_m - \delta_{im}\delta_{jl}A_j\partial_lB_m=A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i$$ Hier habe ich mir die Eigenschaft von Kronecker Delta zunutze gemacht und bin tatsächlich zu dem Ergebnis wie in deinem Ausdruck gekommen. Lassen Sie uns die Summen erweitern, um zu verdeutlichen, was diese Begriffe eigentlich bedeuten:
$$A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i =\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial x}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial y}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial z}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial z}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_x}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_z}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_z}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)$$

Die Notation$\vec \nabla_B$bedeutet einfach, dass die Ableitung nur auf den Vektor angewendet wird$\vec B$.

Das ist :

$$(\vec \nabla_B)_i (\vec A\cdot \vec B) = \vec A\cdot\frac{\partial \vec B}{\partial x^i}\tag{1}$$