Indexnotation mit Del-Operatoren

Ich habe Probleme mit einigen Konzepten der Indexnotation. (Einstein-Notation)

Wenn ich die Divergenz der Kräuselung eines Vektors nehme, ∇ ⋅ ( ∇ × v → ) Zuerst mache ich die Klammer:

∇ ich v J ϵ ich J k e ^ k und dann trage ich das Äußere auf ∇ ...

und bekomme: ∇ l ( ∇ ich v J ϵ ich J k e ^ k ) δ l k

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Äußere aufgetragen habe ∇ korrekt. Wenn ich es jedoch richtig gemacht habe, was ist mein nächster Schritt? Ich glaube, ich kenne die Regeln der Indexnotation einfach nicht gut genug. Kann ich den Index von anwenden δ zum e ^ innerhalb der Klammer? Oder ist das illegal?

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Zuerst einige Notationen

∇ × B → → ϵ ich J k ∇ J B k
∇ ⋅ B → → ∇ ich B ich
∇ B → ∇ ich B

Nun zu deinem Problem,

∇ ⋅ ( ∇ × v → )

Schreiben Sie es in Indexnotation

∇ ich ( ϵ ich J k ∇ J v k )

Berechnen Sie es jetzt einfach (denken Sie daran, dass Levi-Civita eine Konstante ist)

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k

Hier haben wir eine interessante Sache, die Levi-Civita ist vollständig antisymmetrisch auf i und j und hat einen anderen Term ∇ ich ∇ J was völlig symmetrisch ist: Es stellt sich heraus, dass es Null ist.

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = 0

Lassen Sie uns den letzten Schritt klarer machen. Das können wir immer sagen A = A + A 2 , also haben wir

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = 1 2 [ ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k + ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k ]

Lassen Sie nun bei der zweiten Levi-Civita den Index vertauschen ϵ ich J k = − ϵ J ich k , so dass

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = 1 2 [ ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k − ϵ J ich k ∇ ich ∇ J v k ]

Jetzt können wir den Index einfach umbenennen ϵ J ich k ∇ ich ∇ J v k = ϵ ich J k ∇ J ∇ ich v k ( hier wurde kein Austausch vorgenommen, nur umbenannt ).

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = 1 2 [ ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k − ϵ ich J k ∇ J ∇ ich v k ]

Wir können dann die Levi-Civita als Beweismittel aufstellen,

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = ϵ ich J k 2 [ ∇ ich ∇ J v k − ∇ J ∇ ich v k ]

Und da V_k ein gutes Feld ist, darf es kein Problem geben, die Ableitungen auszutauschen ∇ J ∇ ich v k = ∇ ich ∇ J v k

ϵ ich J k ∇ ich ∇ J v k = ϵ ich J k 2 [ ∇ ich ∇ J v k − ∇ ich ∇ J v k ]

Und wie Sie sehen können, ist das, was zwischen den Klammern steht, einfach Null.

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