Curl kann mit dem geschlossenen Linienintegral in der Grenze gleichgesetzt werden, die der eingekreiste Bereich hat$\Delta S$geht auf null. Allerdings müssten wir dies in drei Komponenten tun, da curl ein Vektor ist.

$$(\nabla \times \vec{v})_x = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta S} \oint \vec{v}\cdot d\vec{l}$$ im $yz$Flugzeug und so weiter.

Aber was bedeutet es? Nun, es ist einfach, das zu zeigen

$$\nabla \times \vec{v} = 2 \vec{ \omega}$$ Folgendermaßen: $$(\nabla \times \vec{v})_x = \partial_y v_z - \partial_z v_y = \partial_y (\vec{\omega} \times \vec{r})_z - \partial_z (\vec{\omega} \times \vec{r})_y$$ $$(\nabla \times \vec{v})_x = \partial_y (\omega_x y - \omega_y x) - \partial_z ( \omega_z x - \omega_x z) = 2 \omega_x$$

und dito für die anderen Komponenten

$$(\nabla \times \vec{v})_y = \partial_z v_x - \partial_x v_z = 2\omega_y$$ $$(\nabla \times \vec{v})_z = \partial_x v_y- \partial_y v_x = 2\omega_z$$ dh die Kräuselung eines Geschwindigkeitsfeldes entspricht der doppelten Winkelgeschwindigkeit an diesem Punkt. Mit anderen Worten, es ist die Winkelgeschwindigkeit innerhalb eines Flüssigkeitsstroms, die eine Kräuselung erzeugt! Sie können sich vorstellen, aus einem kleinen (unendlich kleinen) Schaufelrad, das in den Flüssigkeitsstrom eingesetzt werden könnte, einen „Curl Meter“ zu bauen. Wenn sich das Schaufelrad dreht, dann gibt es Kräuselung.

Sie haben jetzt eine Menge guter Antworten, lassen Sie mich zwei Dinge hinzufügen, die ich nicht gesehen habe:

Der$\delta$-Funktion curl: Dinge können verwinkelt aussehen, ohne es zu sein.

Betrachten Sie das Feld

$$\vec V(x, y, z) = \frac{1}{x^2 + y^2}\begin{bmatrix}-y\\x\\0\end{bmatrix} = \hat\theta / r.$$ Seltsam, $\nabla\times\vec V=0$an jedem Punkt außer der Linie $(x,y,z)=(0, 0, z)$wo es nicht definiert ist. Dies "sieht" rotatorisch aus: die $\hat\theta$Vektorpunkte um den Ursprung. Allerdings ist die genaue Skalierung von $1/r$ist genau das, was es braucht, damit die Locken verschwinden.

Also ist jede naive Interpretation "die Locke sagt Ihnen, wie verdreht etwas aussieht" falsch , denn hier ist ein Ding, das verdreht aussieht, aber keine Locke hat.

Besser: die Kraft-Momenten-Interpretation.

Vermuten$\vec V$stellt ein Kraftfeld dar – im üblichen physikalischen Sinn einer Kraft, die an jedem Punkt im Raum definiert ist, bitte, nicht im Science-Fiction-Sinne einer unsichtbaren Wand.

Nehmen wir nun an, wir setzen ein kleines Windrad in das Kraftfeld und lassen es diese Kräfte spüren. Lassen Sie es uns ohne Beschränkung der Allgemeinheit als kleinen Radiuskreis schreiben$\epsilon$im$xy$-Ebene über den Ursprung, die Punkte$\delta\vec r(\theta) = [\epsilon \cos\theta, \epsilon \sin\theta, 0]$für$0\le\theta\lt 2\pi.$Die Kraft an jedem Punkt dieses Kreises ist ungefähr:

$$\vec F(\theta) \approx \vec V(0, 0, 0) + \frac{\partial \vec V}{\partial x}~\epsilon~\cos(\theta) + \frac{\partial \vec V}{\partial y}~\epsilon~\sin(\theta).$$ Zur Erstbestellung $\epsilon$, natürlich ist die Nettokraft auf dieses Windrad gerecht $\vec V(0, 0, 0)$: die Terme linear in $\epsilon$verschwinden.

Das Nettodrehmoment verschwindet jedoch nicht:

$$\delta \vec\tau = \int_0^{2\pi} d\theta~ \delta\vec r(\theta)\times\vec F(\theta) \approx \epsilon \int_0^{2\pi} d\theta~\hat z~\big(\partial_x V_y \cos^2\theta - \partial_y V_x \sin^2\theta \big),$$ wobei alle anderen Terme verschwinden, wenn wir einfache Sinus- und Kosinusfunktionen oder gelegentlich integrieren $\sin\theta\cos\theta = \frac12 \sin(2\theta),$all das schwingt herum $0$. Nur $\cos^2$Und $\sin^2$um einen anderen Durchschnitt oszillieren, nämlich $\frac12$. Die Durchführung des Integrals führt also zu dem kleinen Drehmoment: $$\delta \vec\tau \approx \frac12~\epsilon ~\hat z \left(\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right).$$ Das ist $\vec \tau = \epsilon~\hat z~(\hat z \cdot (\nabla \times \vec V)),$Die richtige Erweiterung davon auf alle Koordinaten ist also einfach: an der Position $\vec r$Setzen Sie ein Windrad in die ein $\hat n$Richtung, das Drehmoment pro Radiuseinheit an diesem Windrad ist einfach $\hat n \cdot (\nabla \times \vec V).$

Die Kräuselung eines Kraftfelds ist also das Drehmoment pro Einheitsradius auf einem kleinen Windrad, das in Richtung des größten Drehmoments zeigt.

Da ein Geschwindigkeitsfeld in kleinen Abständen Partikel im Allgemeinen durch einen linearen Widerstand beeinflusst $\vec F \propto \vec v$, dies ist auch eine gute Interpretation für Geschwindigkeitsfelder: Fügen Sie ein kleines Windrad ein, das Sie festhalten, und die Locke sagt Ihnen das Drehmoment, das die Flüssigkeit auf dieses Windrad ausüben wird (dem Sie sich widersetzen müssen, um es festzuhalten).

Der$\hat \theta / r$Das Feld dreht daher ein kleines Objekt nicht, wenn es daran vorbeifließt. Sie können dies grob verstehen, indem Sie das Windrad nicht als kleinen Kreis mit Radius beschreiben$\epsilon$aber ein kleines Trapez$\delta r, \delta \theta.$Die Flüssigkeit bleibt eine Zeitlang mit der Außenfläche in Kontakt$\delta \theta~(r + \delta r)$sondern ist nur über die Länge mit der Innenfläche in Kontakt$\delta \theta~ r.$Indem man die Kraft wie geht$\vec F = U_0~\hat \theta/r,$die Arbeit , die an der inneren Oberfläche verrichtet wird, die sich um die Schleife bewegt, ist$-U_0~\delta\theta~r/r ~+~ U_0 \delta\theta (r + \delta r) / (r + \delta r) = 0,$wie es sein muss, wenn sich das Windrad nicht so drehen will.

In Betracht ziehen$\vec V$um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit darzustellen. Wir wählen einen Punkt$x_0$. In einem kleinen Bereich um diesen Punkt können wir das Vektorfeld annähern$\vec V(\vec x_0 + \vec x) = \vec V(\vec x_0) + D\vec V(\vec x_0)x$, Wo$D\vec V(\vec x_0)$stellt die Jacobi-Matrix dar. Diese Ableitung können wir eindeutig in den symmetrischen und den antisymmetrischen Teil zerlegen:$J := D\vec V(\vec x_0) = S + A$, Wo$A^T = -A$Und$S^T = S$. Ausdrücklich,$A = \frac 1 2 (J - J^T)$Und$S = \frac 1 2 (J + J^T)$.

Da sich die von den symmetrischen und antisymmetrischen Anteilen erzeugten Geschwindigkeitsfelder einfach überlagern, können wir ihre Wirkung getrennt betrachten (und hier betrachten wir nur den antisymmetrischen Anteil).

Nah dran$x_0$, der antisymmetrische Teil$A$erzeugt ein Geschwindigkeitsfeld:

$$\begin{align*} \vec V_A(\vec x_0 + \vec x) &= \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \vec x = \vec \omega \times \vec x. \end{align*}$$ Dies entspricht dem Geschwindigkeitsfeld eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden starren Körpers $\vec \omega$. (Man beachte, dass man die Komponenten einfach geschickt benennt $A$von $\omega_i$um dieses Ergebnis zu erhalten).

Ausschreiben der Elemente von$A$explizit kann man sie trivialerweise mit den Komponenten von identifizieren$\nabla \times \vec V$(z.B$(\nabla \times \vec V)_1 = \partial_2 V_3 - \partial_3 V_2 = 2A_{23} = 2\omega_1$).

Abschließend, wenn$\vec V$ist dann ein Geschwindigkeitsfeld$\nabla \times \vec V(\vec x) = 2\vec \omega(\vec x)$mit der Winkelgeschwindigkeit$\vec \omega(\vec x)$in Bezug auf Punkt$\vec x$.

Eine ähnliche Analyse des symmetrischen Teils zeigt dies$\mathrm{Tr}(S) = \nabla \cdot V$hängt mit dem vergrößerten Volumen der Strömung zusammen (dh mit der Vergrößerung des Volumens eines kleinen Volumens, das in der Strömung transportiert wird).

$\nabla$stellen den Pseudovektor dar$(\frac\partial{\partial x},\frac\partial{\partial y})$(in 2D). So :

• $\nabla(v)$ist der Gradient$(\frac{\partial v}{\partial x} , \frac{\partial v}{\partial y})$,
• $\nabla\cdot v$ist die Abweichung$\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}$,
• $\nabla \times v$ist die Locke$\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}$

Also wenn$v$ist ein Drehfeld$v(r,\theta) = r\dot{\theta}(-\sin(\theta),\cos(\theta))$, dh$v(x,y)=\dot{\theta}(-y,x)$, du siehst diese Locke ($v$) =$2\dot{\theta}$, mit der (doppelten) konstanten Drehzahl.