Hat ∇⋅E⃗ ∇⋅E→\nabla \cdot \vec{E} dieselbe Bedeutung wie Skalarprodukt a⃗ ⋅b⃗ =|a||b|cos(θ)a→⋅b→=|a||b| cos⁡(θ) \vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)?

Ja, es ist das übliche Skalarprodukt, aber nein, das ist es nicht$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)$.

Die Sache ist, dass$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)$ist keine Definition des Skalarprodukts, sondern eine Beziehung, die Sie aus einer Definition ableiten können, wenn die beteiligten Vektoren Mitglieder davon sind$\mathbb{R}^n$oder ein anderes Feld mit den gleichen algebraischen Eigenschaften. Aber$\nabla$ist ein Mitglied eines ganz anderen Raums.

Die Lektion ist also, dass es ein Fehler ist, daran zu denken$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a| |b| \cos(θ)$als definierende Eigenschaft des Skalarprodukts.

Es gibt keine Interpretation von$\nabla \cdot \vec E$als$\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\theta$aufgrund der Tatsache, dass$\nabla$ist ein Operator und nicht Teil eines Vektorraums$\vec E \in \mathbb R^3$.

Der$\cos\theta$Beziehung basiert auf einer geometrischen Betrachtung des Skalarprodukts auf$\mathbb R^3$und dies gilt nicht als$\nabla$wie oben erwähnt, kann nicht als eine geometrische Einheit im Vektorraum charakterisiert werden.

Wir können uns die Divergenz als Karte vorstellen$\mathbb R^n \to \mathbb R$da es aus einem einzelnen Vektorfeld ein Skalarfeld erzeugt. In anderen Zusammenhängen - zum Beispiel -$\nabla^2$kann als Teil einer Weyl-Algebra angesehen werden.

Hier ist eine kostenlose Sichtweise. Unter Umständen$\nabla\cdot \vec E$hat eine Interpretation (fast) als Standard-Skalarprodukt. Sagen$\vec E(x,t)$ist eine ebene Welle

$$\vec E(x,t) = \vec E(k\cdot x - c t)$$ Wo $k$ist Wellenzahl und $c$ist die Wellengeschwindigkeit. Dann die Divergenz von $\vec E$nimmt die Gestalt an $$\nabla\cdot\vec E = k\cdot \vec E'$$ Wo $\vec E'$ist die Ableitung von $\vec E$in Bezug auf die Phase $k\cdot x - ct$. Dann hält dich nichts davon ab, das zu sagen $$\nabla\cdot\vec E = \lvert k\rvert \lvert\vec E'\rvert \cos \theta$$ Wo $\theta$ist der Winkel dazwischen $\vec E'$Und $k$. Beachte das aber $k$Und $\vec E'$haben unterschiedliche Einheiten und gehören zu zwei "sehr unterschiedlichen Räumen", wie in der Antwort von dmckee betont wurde.

Wenn du nimmst$\vec E$um eine harmonische Welle zu sein, werden die Dinge noch einfacher (denken Sie daran, wie sich Ableitungen unter einer Fourier-Transformation ändern).

Allgemeiner gesagt, die$\nabla$Operator, egal ob er eine Divergenz, eine Locke oder einen Laplace-Operator bezeichnet, verhält sich ähnlich wie Vektoren für ebene Wellen. Bei anderen Arten von Wellen / Feldern ist die Wirkung komplizierter, aber nicht grundlegend anders, würde ich sagen.

@JamalS hat den formelleren Grund angegeben, warum Sie nicht daran denken möchten$\nabla$als Vektor, aber hier sind einige Gründe (praktisch, aber nicht formal), warum es nützlich sein kann, dies zu tun.

$\vec\nabla\cdot\vec h$hat etwas von der Bedeutung eines Skalarprodukts in dem Sinne, dass

$$\vec a\cdot \vec b= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$ kopiert wird $$\vec\nabla \cdot \vec h=\frac{\partial}{\partial x}f_x+ \frac{\partial}{\partial y}f_y+\frac{\partial}{\partial z}f_z$$ wenn du denkst $\vec \nabla=\hat x\frac{\partial}{\partial x}+ \hat y\frac{\partial}{\partial y}+\hat z\frac{\partial}{\partial z}$, dh wenn Sie denken $\vec\nabla$als Vektor mit Komponenten $\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$.

Darüber hinaus gibt es mehrere Vektoridentitäten, die eine Vektorrechnungsinterpretation haben, wenn Sie daran denken$\vec \nabla$als Vektor. Da zum Beispiel$\vec a\times\vec a=0$, können Sie dies "exportieren", um einen Einblick zu erhalten

$$\vec\nabla\times \vec \nabla f=0\, ,$$ für jede Skalarfunktion $f$. Sie können auch "exportieren" $\vec a\cdot (\vec a\times \vec b)=0$intuitiv zu verstehen $$\vec\nabla\cdot \left(\vec\nabla\times \vec A\right)=0\, .$$ Auch ein Vektor multipliziert mit einem Skalar ergibt einen Vektor, ähnlich wie $\vec \nabla f$ist ein Vektor.

Allerdings können nicht alle Eigenschaften des üblichen Skalarprodukts "exportiert" werden$\vec\nabla$. Zum Beispiel,$\vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec a$Aber

$$(\vec\nabla \cdot \vec h)f\ne (\vec h\cdot\vec\nabla)f\, .$$ Also, während bequem zu denken $\vec \nabla\cdot\vec h$als Skalarprodukt und bequem zu denken $\vec \nabla$Als Vektor sollte man dies mit Vorsicht tun, sonst können Sie durch blinde Manipulationen in Schwierigkeiten geraten.