Was sind ∂t∂t\partial_t und ∂μ∂μ\partial^\mu?

Ich lese die Wikipedia-Seite für die Dirac-Gleichung :

ρ = ϕ ∗ ϕ

......

J = − ich ℏ 2 M ( ϕ ∗ ∇ ϕ − ϕ ∇ ϕ ∗ )

mit der aus der Schrödinger-Gleichung folgenden Erhaltung von Wahrscheinlichkeitsstrom und Dichte:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ T = 0.

Die Tatsache, dass die Dichte gemäß dieser Kontinuitätsgleichung positiv definit und konvektiv ist, impliziert, dass wir die Dichte über einen bestimmten Bereich integrieren und die Summe auf 1 setzen können, und diese Bedingung wird durch das Erhaltungsgesetz aufrechterhalten. Eine echte relativistische Theorie mit einem Wahrscheinlichkeitsdichtestrom muss diese Eigenschaft ebenfalls teilen. Wollen wir nun den Begriff einer konvektiven Dichte beibehalten, so müssen wir den Schrödinger-Ausdruck von Dichte und Strom so verallgemeinern, dass die räumlichen und zeitlichen Ableitungen wieder symmetrisch zur skalaren Wellenfunktion eingehen. Wir dürfen den Schrödinger-Ausdruck für den Strom beibehalten, müssen aber durch Wahrscheinlichkeitsdichte durch den symmetrisch gebildeten Ausdruck ersetzen

ρ = ich ℏ 2 M ( ψ ∗ ∂ T ψ − ψ ∂ T ψ ∗ ) .

die nun zur 4. Komponente eines Raum-Zeit-Vektors wird, und die gesamte 4-Stromdichte hat den relativistisch kovarianten Ausdruck

J μ = ich ℏ 2 M ( ψ ∗ ∂ μ ψ − ψ ∂ μ ψ ∗ )

  1. Was genau sind ∂ T Und ∂ μ ?

  2. Sind es Tensoren?

  3. Wenn ja, wie werden sie definiert?

Antworten (2)

∂ T ≡ ∂ ∂ T Und ∂ μ ≡ G μ v ∂ ∂ X v = ( ∑ v = 0 3 G μ v ∂ ∂ X v ) μ = 0 3 sind Differentialoperatoren. ∂ μ ist formal kontravariant (oberer Index) und gehorcht den entsprechenden Transformationsgesetzen. ∂ T hat einen niedrigeren Index und ist (bis auf einen konstanten Faktor) Bestandteil des formal kovarianten Operators ∂ μ über ∂ 0 = 1 C ∂ T , was im Allgemeinen nicht gleich ist ∂ 0 , die nullte Komponente von ∂ μ .

Der Differentialoperator ∂ μ wird als Gradient bezeichnet, der Vektorfelder aus Potentialfunktionen ableitet. Der Gradient ist keine natürliche Operation auf beliebigen Mannigfaltigkeiten und nur verfügbar, wenn eine Metrik vorhanden ist. Es ist dual ∂ μ ≡ ∂ ∂ X μ andererseits ist eine dem Differential entsprechende natürliche Operation D , Potentiale in 1-Formen nehmen (Covektorfelder).

Als Anmerkung, ∂ T kann auch als lokales Vektorfeld verstanden werden, da eine der intrinsischen Definitionen von Vektoren auf Mannigfaltigkeiten über ihre Richtungsableitungen erfolgt. In der mathematischen Literatur ist es üblich, die Basis des Tangentialraums als zu schreiben { ∂ ∂ X μ } und sein dualer Raum als { D X μ } .

Zwei Punkte: (1) ∂ μ entspricht nicht der äußeren Ableitung D , da es für Indizes antisymmetrisch sein muss; (2) allgemein ∂ μ ist die Basis für ein Vektorfeld in lokalen Koordinaten. (Ich habe nur "lokales Vektorfeld" für "ein Vektorfeld gesehen, das auf einem Koordinatenfeld und keinem anderen definiert ist.")
@AlexNelson: zu (1), das war zwar etwas schlampig von mir, aber es gilt für den Fall, den ich ausdrücklich erwähnt habe D : Ω 0 ( M ) = C ∞ ( M ) → Ω 1 ( M ) = Γ ( T ∗ M ) , F ↦ D F = ∂ μ F D X μ ; zu (2): Jedes Element der lokalen Basis ist ein Vektorfeld, das auf dem entsprechenden Koordinatenfeld definiert ist, daher sehe ich keinen Widerspruch
Zu (2) mein Punkt ist ein lokales Vektorfeld ist nicht dasselbe wie ein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit, ausgedrückt in lokalen Koordinaten, da letzteres global ist .
@AlexNelson: Die Koordinatenausdrücke für (globale) Vektorfelder sind lokale Vektorfelder - das vollständige Vektorfeld wird durch Koordinatenausdrücke für eine Reihe von Abdeckflecken angegeben

Je nach verwendeter Notation, ∂ μ könnte ein Tensor sein, der sich auf den Vierervektor bezieht ( ∂ 0 , ∂ 1 , ∂ 2 , ∂ 3 ) . Im Zusammenhang mit der obigen Gleichung können Sie jedoch beide behandeln ∂ T Und ∂ μ als Skalare, die sich auf die partielle Differenzierung durch beziehen X T Und X μ entsprechend.

Die genaue Definition von ∂ T ist in der Literatur nicht einheitlich, manchmal wird es darauf eingestellt ∂ 0 , sonst zu 1 C ∂ 0 . Allerdings mit C = 1 , das spielt selten eine Rolle.

Beachten Sie außerdem, dass der Zeit entweder die nullte oder die vierte Komponente der Raumzeit zugeordnet wird.

Ja, die Komponenten sehen einzeln wie Skalare aus, sind es aber nicht! Sie transformieren sich wie Tensoren . Speziell ∂ μ wird sich als kontravarianter Tensor vom Rang 1 transformieren, und ∂ T transformiert ungewöhnlich (aber nicht als Skalar! ).
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