Was ist der Unterschied zwischen ∇σ∇σ\nabla _{\sigma} und ∇σ∇σ \nabla^{\sigma}?

Was ist der Unterschied zwischen:

∇ σ Und ∇ σ ?

Mir wurde gesagt, dass die erste die kovariante Ableitung ist, aber ich beginne gerade einen Kurs über Raumzeitgeometrie und bin mir der Notation noch etwas unsicher.

Antworten (1)

∇ σ ist die kovariante Ableitung. ∇ σ bedeutet G σ ρ ∇ ρ . Es ist so ziemlich dasselbe wie das Erhöhen jedes anderen Index. Die kovariante Ableitung fügt beim Einwirken auf einen beliebigen Tensor einen Abwärtsindex hinzu, und Sie können ihn wie bei jedem anderen Index erhöhen. Da die kovariante Ableitung der Metrik 0 ist, können Sie mit beiden arbeiten ∇ σ oder ∇ σ ohne sich Gedanken über Ableitungen der Metrik zu machen, die auftauchen.

Entschuldigung, um genauer zu sein, warum: ∇ σ [ ∇ σ , ∇ v ] F = 0 Wo ist f ein Skalar?
Die hochrangige Antwort ist die [ ∇ μ , ∇ N u ] repräsentiert den Kommutator des infinitesimalen Paralleltransports, Krümmung. Da ein Skalar jedoch vom Paralleltransport unbeeinflusst bleibt, ist die Auswirkung der Krümmung auf ihn gleich Null. Für eine eher fußläufige Annäherung können Sie es in Koordinaten berechnen, bei denen die Christoff-Symbole verschwinden (solche Koordinaten existieren immer).
@sarahuscher ∇ A F = ∂ A F für F Skalar.
Was ist der Unterschied zwischen ∇σ∇σ\nabla _{\sigma} und ∇σ∇σ \nabla^{\sigma}?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v