Vektoren und Skalarprodukt mit dem metrischen Tensor - Koordinatentransformation

a) Ja, diese Gleichung gilt auch dann, wenn wir uns in einem Koordinatensystem befinden, in dem die Metrik nicht die Minkowski-Metrik ist. Da das innere Produkt zweier Vektoren ein Skalar ist (und somit eine koordinateninvariante Größe ), erhalten Sie genau denselben Wert in einem anderen Koordinatensystem.

b) Hier ist Vorsicht geboten, Minkowski-Raum kann behandelt werden$\Bbb R^4$mit einem inneren Produkt ausgestattet (was es zu einem Vektorraum macht), aber wenn Sie über Vektoren an verschiedenen Punkten im Minkowski-Raum sprechen möchten, müssen Sie es als Mannigfaltigkeit behandeln . Auf einer Mannigfaltigkeit hat jeder Punkt einen Tangentenraum , der eine Vektorraumstruktur hat, was es uns erlaubt, berechtigterweise von Vektoren zu sprechen, die nicht "am Ursprung" oder "am selben Punkt" sind.

Auch hier müssen wir wieder vorsichtig sein, denn wir dürfen nicht unbedingt Vektoren in verschiedenen Tangentialräumen vergleichen, wenn wir beispielsweise in Kugelkoordinaten arbeiten (oder wenn unsere Raumzeit eine Krümmung hat).

c) Das Skalarprodukt ist invariant unter Koordinatentransformationen.

d), e), f) Diese Probleme beziehen sich wieder auf die Tatsache, dass wir über den Minkowski-Raum als Mannigfaltigkeit sprechen , nicht nur als Vektorraum (für den das Konzept, zwei Vektoren an zwei verschiedenen Punkten zu haben, nicht definiert ist). Wie ich oben gesagt habe, können Sie Vektoren, die in verschiedenen Tangentialräumen leben, nicht immer nur mit einer Mannigfaltigkeit vergleichen, dies erfordert eine zusätzliche Struktur, die als Verbindung bezeichnet wird . Siehe auch den bekannteren Begriff in der Physik einer kovarianten Ableitung .

Wie Charlie erklärte, ist eine Möglichkeit, die Minkowski-Raumzeit zu behandeln, so vielfältig, wie man es tut, wenn man metrische Komponenten als Funktion von Koordinaten berechnet oder wenn man die Transformationsformel verwendet

Eine andere Möglichkeit besteht darin, es als affinen Raum zu behandeln , was Sie in Ihrer Frage versuchen. Der affine Raum ist ein Satz zusammen mit dem begleitenden Vektorraum und der Operation, die Punkt, Vektor nimmt und einen anderen Punkt erzeugt:

Die Änderung der Koordinaten spielt hier jedoch keine Rolle. Der Vektor ist vollständig durch Punkte an seiner Spitze und an seinem Ende spezifiziert. Nirgendwo kommen die Koordinaten in dieser abstrakten Definition vor.

Das Problem tritt auf, wenn man anfängt, Punkte mit Koordinaten zu behandeln. Die Operation in kartesischen Koordinaten ist einfach genug. Wenn der Vektor bestimmte Basiskomponenten hat, die gegebenen kartesischen Koordinaten zugeordnet sind, dann wird der neue Punkt einfach dadurch gegeben, dass Komponenten des Anfangspunkts mit Komponenten des Vektors addiert werden. Bei krummlinigen Koordinaten ist die Regel jedoch nicht so einfach und unkompliziert.

Zunächst einmal ist diesen neuen Koordinaten keine Vektorbasis zugeordnet. Auf einer intuitiven Ebene ist dies sinnvoll, da krummlinige Koordinaten ihre Richtung und "Geschwindigkeit" ändern und Sie ihnen daher nicht nur einen Pfeil zuordnen können. Um also die Komponentenversion der Gleichung aufzuschreiben$P_1+\vec{v}=P_2$, wissen Sie nicht einmal, wie Sie entscheiden sollen, welche Basisvektoren Sie verwenden sollen, um Komponenten des Vektors zu erhalten$\vec{v}$. Der affine Raum sagt Ihnen einfach, dass Sie krummlinige Koordinaten vergessen und mit kartesischen Koordinaten arbeiten sollen, da diese Koordinaten an die Struktur des affinen Raums angepasst sind.

Der vielfältige Standpunkt umgeht dieses Problem, indem er die Formel fordert$P_1+\vec{v}=P_2$kann nur in einer infinitesimalen Umgebung des Punktes verwendet werden$P_1$und skaliert den Vektor$\vec{v}$um einen Skalar nach unten$\epsilon$. Dh in mannigfaltiger Formulierung hat jeder Punkt einen begleitenden Vektorraum, den wir verwenden können, um einen Punkt an der Spitze des Vektors zu erhalten:$P_1+\epsilon\vec{v}=P_2$, für einen ininitesimalen Wert von$\epsilon$.

Wie Charlie erklärte, erzwingt Mannigfaltigkeit im Allgemeinen nicht die Fähigkeit, zwei Vektoren an verschiedenen Punkten zu vergleichen. Die Vektorräume an verschiedenen Punkten sind einfach vollständig unabhängig.

Es ist jedoch bekannt, dass die Minkowski-Raumzeit eine Struktur des affinen Raums hat. Es gibt also einen kanonischen Isomorphismus zwischen allen Vektorräumen an verschiedenen Punkten. Einfach ausgedrückt können alle Vektorräume identifiziert werden. Die Verwendung krummliniger Koordinaten kann dann als Forderung interpretiert werden, dass Sie an verschiedenen Punkten eine Zerlegung auf unterschiedliche Basis verwenden.

b) Was bedeutet dieser Ausdruck? Bedeutet dieser Vektor implizit einen Vektor, der vom Ursprung der Koordinaten ausgeht, kartesische Koordinaten annimmt und Komponenten in den Richtungen t ^, x ^ usw. aufweist, die oben angegeben sind? Wenn wir also das Skalarprodukt in (1) nehmen, nehmen wir es im Ursprung der Koordinaten und mit der Minkowski-Metrik?

Wie gesagt, in der Minkowski-Raumzeit gibt es zwei Interpretationen. Einer ist, dass dies Komponenten des Vektorlebens sind, die an einem bestimmten Punkt zu einer bestimmten Basis an diesem Punkt zerlegt wurden. Grundlage sind höchstwahrscheinlich "Richtung und Geschwindigkeit" von Koordinatenkurven am Punkt. Dies ist ein vollständig vielfältiger Standpunkt. Eine andere Interpretation, die von der affinen Struktur der Minkowski-Raumzeit Gebrauch macht, sagt Ihnen, dass dies Komponenten des Vektors sind, die bezüglich der am Punkt P definierten Basis zerlegt sind. Der Unterschied zwischen den beiden Interpretationen ist eigentlich nicht sehr groß. In einer Interpretation leben sowohl die Basis als auch der Vektor an dem Punkt$P$, in der anderen Interpretation leben sie im "einzig wahren" Vektorraum, aber die Zerlegung erfolgt gemäß dem fraglichen Punkt.