Spinor gepunktete und undotierte Indizes

Weyl-Spinoren sind die zweidimensionalen irreduziblen Darstellungen der Gruppe$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. Eine Darstellung ist eine Aktion der Gruppe auf einem Vektorraum, und für Weyl-Spinoren ist dieser Vektorraum$\mathbb{C}^2$. Die unterschiedlichen Typen entsprechen den unterschiedlichen Möglichkeiten unserer Gruppe$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$wirken kann$\mathbb{C}^2$.

Es gibt eine offensichtliche Aktion, die als fundamentale Repräsentation bezeichnet wird . Insbesondere wenn$N \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$Und$v \in \mathbb{C}^2$, dann können wir einfach handeln$v \mapsto N v$. Aus jeder Darstellung können wir immer die konjugierte Darstellung und die duale Darstellung und auch die konjugierte duale Darstellung konstruieren. Wir können nun also die folgenden vier Darstellungen betrachten:

$$\begin{align} \psi_\alpha &\mapsto N_\alpha{}^\beta \psi_\beta & & \text{fundamental}\\ \psi_\dot{\alpha} &\mapsto N^*{}_\dot{\alpha}{}^\dot{\beta} \psi_\dot{\beta} & & \text{conjugate}\\ \psi^\alpha &\mapsto (N^{-1})_\beta{}^\alpha \psi^\beta & & \text{dual} \\ \psi^\dot{\alpha} &\mapsto (N^{*-1})_\dot{\beta}{}^\dot{\alpha} \psi^\dot{\beta} & & \text{conjugate dual} \end{align}$$ Die Art des Index auf unserem Vektor $\psi$sagt uns, auf welche dieser vier Arten sich unser Vektor transformiert. Die duale Darstellung mag aus der allgemeinen Relativitätstheorie bekannt sein – wenn wir einen kontravarianten Vektor als transformierend in die Grundschwingung von betrachten $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, dann transformiert sich ein kovarianter Vektor in die duale Darstellung. Die konjugierte Darstellung ist vielleicht weniger geläufig, da wir oft mit reellen Vektorräumen arbeiten, für die komplexe Konjugation nichts bringt. Beachten Sie, dass wenn $v$wandelt sich also in den Grundton um $v^*$wandelt sich ins Konjugierte um.

Es stellt sich heraus, dass dies alle Möglichkeiten sind$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$wirken kann$\mathbb{C}^2$. Tatsächlich stellt sich heraus, dass die fundamentale und die duale Darstellung aufgrund der Existenz des invarianten Tensors äquivalent sind ^{1 (der genaue Sinn, in dem dies gemeint ist, kann in jedem Buch der Darstellungstheorie nachgelesen werden).}$\epsilon_{\alpha \beta}$. Das bedeutet, dass auch das Konjugierte und das Konjugierte Dual äquivalent sind, es also eigentlich nur zwei verschiedene Darstellungen gibt, die wir oft als linkshändige und rechtshändige Weyl-Spinoren bezeichnen.

¹ _{Beachten Sie, dass „äquivalent“ hier nicht „identisch“ bedeutet. Wir müssen noch darauf achten, obere und untere Indizes zu unterscheiden, weil die Transformationsgesetze nicht dieselben sind – die beiden Darstellungen haben lediglich dieselbe Essenz .}