Majorana-Masse für Neutrinos im Standardmodell

Ja, sie können über einen Operator der Dimension 5, der zwei Higgs-Dubletts und zwei Lepton-Dubletts enthält.

Dies wird manchmal als Weinberg-Operator bezeichnet, verletzt die Erhaltung der Leptonzahl und wurde in dieser Arbeit http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.43.1566 eingeführt .

Da die Masse von einem höherdimensionalen Operator stammt (dh einem Operator, dessen Skalierungsdimension größer ist als die Anzahl der Raum-Zeit-Dimensionen, auch irrelevant genannt), muss sie bei der Dimensionsanalyse die durch eine Skala unterdrückte Wirkung eingehen, sie nennen$\Lambda$. Wenn Sie den Higgs-VEV in den Operator einsetzen, erhalten Sie, dass die resultierende Majorana-Masse in der Größenordnung von (VEV) liegt.$^2$geteilt durch$\Lambda$.

Die Bedeutung der Skala$\Lambda$ist, dass der Operator durch eine neue Physik generiert wird, die sich auf dieser Skala befindet (denken Sie an die schwache Vier-Fermionen-Wechselwirkung, die durch die Skala unterdrückt wird$M_W$).

Verwenden Sie die vorhandenen Grenzen, um die Masse als 0,1 eV abzuschätzen, und nehmen Sie VEV$\approx 100\,GeV$das wirst du finden$\Lambda \approx 10^{14} GeV$, die (auf der logarithmischen Skala) der Skala der Großen Vereinigung ziemlich nahe kommt. Trotzdem muss man bedenken, dass der Operator mit einem kleinen dimensionslosen Koeffizienten generiert werden könnte, was die Schätzung verändern könnte.

Lassen Sie uns die Majorana-Bedingung und den Majorana-Massenterm analysieren.

Ein massereiches Majorana-Neutrino$\chi_j$(ein Majorana-Spin$1/2$Fermion) mit Masse$m_j>0$kann in einer lokalen Quantenfeldtheorie (zB dem Standardmodell) durch einen Vierkomponentenspin beschrieben werden$1/2$Feld$\chi_j(x)$was die Dirac-Gleichung und die Majorana-Bedingung erfüllt, die lautet:

$$C(\overline{\chi_j}(x))^T=\eta_k\chi_j, \text{ where }|\eta_k|^2=1$$ $C$ist die Ladungskonjugationsmatrix, $C^{-1}\gamma_{\alpha}C=-(\gamma_{\alpha})^T$ $(C^T=-C,C^{-1}=C^{\dagger})$Und $\eta_k$ist eine generische unphysikalische Phase. Die Majorana-Bedingung ist bei richtiger Lorentz-Transformation unveränderlich. Es reduziert die Anzahl der unabhängigen Komponenten um den Faktor 2 $\chi_j (x)$.

Beachten Sie, dass die Majorana-Bedingung invariant a global ist$U(1)$Transformation des Feldes$\chi_j(x)$(trägt ein$U(1)$Aufladung$Q$):$\chi_j(x)\to e^{i\alpha Q} \chi_j(x)$iff$Q=0$. Deshalb:

$\chi_j(x)$kann keine additiven Quantenzahlen ungleich Null tragen (z. B. Leptonladung)

Lassen Sie uns nun Massenterme konstruieren. In Abwesenheit von RH-Singulett-Neutrinofeldern in der Theorie (was im Standardmodell der Fall ist), die Flavor-Neutrinos und Antineutrinos$\nu_l$Und$\bar{\nu}_l,l=e,\mu,\tau$kann einen Massenterm vom Majorana-Typ haben, der gegeben ist durch:

$$\mathcal{L}_M^{\nu}(x)=-\frac{1}{2}\overline{\nu^c_{l'R}}(x)M_{l'l}\nu_{lL}(x)+h.c., \nu^c_{l'R}\equiv C(\overline{\nu_{l'L}}(x))^T,$$ Wo $M$ist ein General $3\times 3$komplexe Matrix. Nun zu Ihrer Frage: Ist das Massenbegriff $SU(2)_L\times U(1)_Y$unveränderlich? Die Antwort ist ganz klar NEIN! Es ist unter der schwachen Isospin-Symmetrie nicht invariant und ändert die schwache Hyperladung um zwei Einheiten (die Hyperladung aller SM-Neutrinos ist $-1$was impliziert, dass dieser Massenterm eine Summe hat $U(1)_Y$Aufladung $-2$). Daher müssen wir diesen Begriff über generieren. ein Higgs-Mechanismus (wie für den Dirac-Massenterm für das Elektron) oder eine höhere Schleifenkorrektur für den SM-Lagrangian oder möglicherweise einige über den Standardmodellprozess hinaus.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es im Standardmodell (das keine RH-Singulett-Neutrinofelder und nur das übliche Higgs-Dublett enthält) keine Möglichkeit gibt, den Neutrinos eine (Majorana-) Masse zu geben, wenn die Fermionen- (Lepton-) Zahl erhalten bleibt. Massive Majorana-Neutrinos treten in Theorien ohne konservierte additive Quantenzahl auf, und genauer gesagt, in denen die gesamte Leptonladung L nicht konserviert ist und sich um zwei Einheiten ändert.

Wenn Sie jedoch das Standardmodell als effektive Feldtheorie betrachten, besteht die Möglichkeit, den obigen Massenterm über zu generieren. höherdimensionale Operatoren (was der Kontext der vorherigen Antwort ist!)

Der wichtige Punkt ist die Tatsache, dass ein solcher Massenterm die Eichsymmetrie bricht (Bearbeiten: Ich gehe davon aus, dass Sie den Majorana-Massenterm mit SM-verfügbaren Feldern erstellen möchten - keine Erweiterung berücksichtigt - von denen es nur gibt$\nu_L$). Der gewünschte Begriff ist nämlich (eine Generation genügt):

$$\frac{1}{2}\,M\, \nu_L^T \,\mathcal{C}^\dagger\,\nu_L\, +\, \textrm{H.c.}$$

Damit dieser Term nun den U(1)-Teil der Eichsymmetrie respektiert, muss die Gesamthyperladung Null sein (ist es nicht, wie Orbifold betonte).

Was den SU(2)-Teil betrifft,$\nu_L$ist Teil einer Dublette. Wenn Ihre Theorie also unter dieser Symmetrie unveränderlich ist, sollten Sie in der Lage sein, das Dublett zu drehen$(\nu_L,\ell_L)$unter SU(2) ungestraft, dh ohne Änderung der Lagrange-Funktion. Hier,$\ell_L$bezeichnet ein geladenes Lepton. Offensichtlich würde eine nichttriviale SU(2)-Rotation beides mischen$\nu_L$Und$\ell_L$Felder und der Begriff/Lagrangeian wird nicht gleich/invariant gehalten.

Empfohlene Lektüre: Anfang von Abschnitt 6.4 von C. Giunti und C. Kims 'Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophysics' (Oxford, 2007).